МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра статистики

и информационных систем

в экономике

Б2.Б4 методы оптимальных решений

Методические указания по дисциплине

Направление подготовки 080100 Экономика

Профили подготовки

Финансы и кредит

Налоги и налогообложение

Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Экономика предприятий и организаций

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Составитель: ст.преподаватель Сагадеева Э. Ф.

Рецензент: к.с.н., доцент кафедры математики Гильманова Г. Х.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой статистики и информационных систем в экономике, к.э.н., доцент Аблеева А.М.

Введение
1. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
2. Симплексный метод решения задачи линейного программирования
3. Основные понятия теории двойственности
4.Двойственный симплекс-метод
5. Симплексный метод с искусственным базисом
6. Целочисленное программирование. Метод Гомори
7. Дробно-линейное программирование
8. Задачи нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа
9. Задания для самостоятельной работы
10. Тестовые задания
11. Задания для выполнения расчетно-графической работы и контрольной работы заочников
12. Фонд контрольных вопросов
13. Билеты к экзамену
14. Библиографический список

Введение

Методы оптимальных решений – это раздел математики, который изучает теорию и методы поиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как на одном определенном предприятии, так и в некоторой отрасли или в отдельном регионе, или в целом государстве.

Лучшие варианты – это те, при которых достигается максимальная производительность труда, минимум себестоимости, максимальная прибыль, минимум использования ресурсов и т.д. С точки зрения математики – это класс оптимизационных задач. Основным инструментом при их решении является математическое моделирование. Математическая модель – это формальное описание изучаемого явления и «перевод» всех существующих сведений о нем на язык математики в виде уравнений, тождеств, неравенств. Если все эти соотношения линейные, то вся задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП). Критерием эффективности этой модели является некоторая функция, которую называют целевой.

Сформулируем общую задачу линейного программирования.

Пусть дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными (система ограничений):

(1)

и линейная функция

Необходимо найти такое решение системы (1), при котором линейная функцияпринимает максимальное (минимальное) значение.

В общем случае ЗЛП может иметь бесконечное множество решений. Часто решение , удовлетворяющее ограничениям (1), называютпланом . Если все компоненты (3) для, тоназываютдопустимым решением .

Оптимальным решением или оптимальным планом задачи линейного программирования называется такое ее решение , которое удовлетворяет всем ограничениям системы (1), условию (3) и при этом дает максимум (минимум) целевой функции (2).

Каноническая	Стандартная	Общая
1) Ограничения
Уравнения	Неравенства	Уравнения и неравенства
2) Условия неотрицательности
Все переменные	Все переменные	Часть переменных
3) Целевая функция
(max или min )

Здесь: – переменные задачи;– коэффициенты при переменных в целевой функции;– коэффициенты при переменных в основных ограничениях задачи; – правые части ограничений.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию

Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С N x N

при линейных ограничениях

a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1N Х N = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2N Х N = b 2

. . . . . . . . . . . . . . .

a М 1 x 1 + a М 2 x 2 + ... + a М N Х N = b М

Так как Z - линейная функция, то Z = С j , (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

В настоящие дни в образовательную программу специальностей, связанных с экономикой, финансами и менеджментом, входит дисциплина с названием «Методы оптимальных решений». В рамках данной дисциплины студенты изучают математическую сторону оптимизации, исследования операций, принятия решений и моделирования. Главная особенность данной дисциплины определяется совместным изучением математических методов с их приложением к решению экономических задач.

Задачи на оптимизацию: общие сведения

Если рассматривать общий случай, то смысл задачи на оптимизацию заключается в нахождении так называемого оптимального решения, которое максимизирует (минимизирует) целевую функцию при некоторых условиях-ограничениях.

В зависимости от свойств функций задачи на оптимизацию можно разделить на два вида:

• задача линейного программирования (все функции линейны);
• задача нелинейного программирования (хотя бы одна из функций не является линейной).

Частными случаями задач на оптимизацию являются задачи дробно-линейного, динамического и стохастического программирования.

Наиболее изученными задачами на оптимизацию являются задачи линейного программирования (ЗЛП), решения которых принимают только целочисленные значения.

ЗЛП: формулировка, классификация

Задача линейного программирования в общем случае состоит в нахождении минимума (максимума) линейной функции при некоторых линейных ограничениях.

Общей ЗЛП называют задачу вида

при ограничениях

где — переменные, — заданные действительные числа, — целевая функция, — план задачи, (*)-(***) — ограничения.

Важной особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.

Практическое экономическое приложение методы оптимальных решений находят при решении задач следующих видов:

• задачи о смесях (т.е. планирование состава продукции);
• задачи оптимального распределения ресурсов в производственном планировании;

ЗЛП: примеры

Задача о смесях

Решение задачи о смесях состоит в отыскании наиболее дешевого набора, состоящего из определенных исходных материалов, которые обеспечивают получение смеси с заданными свойствами.

Задача о распределении ресурсов

Предприятие осуществляет выпуск n различных изделий, для производства которых требуется m различных видов ресурсов. Запасы используемых ресурсов ограничены и составляют соответственно b 1 , b 2 ,…, b m у.е. Кроме того, известны технологические коэффициенты a ij , которые показывают какое количество единиц i -го ресурса необходимо для производства одной единицы изделия j -го вида (). Прибыль, которую получает предприятие при реализации изделия j -го вида, составляет c j ден.ед. Необходимо составить план выпуска продукции, прибыль предприятия при реализации которого будет наибольшей.

Условия задач о смесях и распределении ресурсов часто записываются в виде таблиц.

Ресурсы	Потребности			Запасы
	B 1	…	B n
A 1				b 1
…				…
A m				b m
Прибыль	c 1	…	c n

Задачи о смесях и распределении ресурсов можно решить несколькими способами:

• графический метод (в случае малого числа переменных в математической модели);
• симплекс-метод (в случае числа переменных в математической модели больше двух).

К транспортной задаче относится класс задач, которые имеют определенную специфическую структуру. Простейшей транспортной задачей является задача о перевозках продукта в пункты назначения из пунктов отправления при минимальных затратах на перевозку всех продуктов.

Для наглядности и удобства восприятия условие транспортной задачи принято записывать в таблицу следующего вида:

В общем случае решение транспортной задачи выполняется в несколько этапов:

• I этап: построение первоначального опорного плана;
• II этап: проверка опорного плана на оптимальность;
• III этап: уточнение опорного плана, если он не является оптимальным.

Существует несколько методов получения первоначального опорного плана, например, метод северо-западного угла, метод Фогеля, метод минимальных стоимостей.

Проверка плана на оптимальность выполняется с применением метода потенциалов:

— для занятых клеток,
— для незанятых клеток.

Если план не является оптимальным, то выполняется построение цикла и перераспределение перевозок.

Заключение

В рамках одной статьи нет возможности охватить всю теорию и практику методов оптимальных решений, поэтому рассмотрены только некоторые моменты, позволяющие дать общее представление о данной дисциплине, задачах и методах их решения.

Кроме того, неплохо отметить, что для проверки полученных решений задач оптимизации можно очень эффективно применять надстройку «Поиск решения» пакета MS Excel. Но это уже другая история, собственно, как и подробное рассмотрение методов решения задач на оптимизацию.

Приведем несколько учебников для изучения методов оптимального решения:

1. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 407 с.

Решение методов оптимизации на заказ

Мы можем помочь вам с решением любых задач по методам оптимальных решений. Заказать решение задач можно у нас на сайте. Достаточно лишь указать срок и прикрепить файл с заданием. вашего заказа можно бесплатно.

Перечисленные выше методы применяются адаптивно к задачам, возникающим в процессе принятия того или иного решения. Остановимся подробнее на четвертом разделе (методы принятия оптимальных решений), который является наиболее объемным, включающим в себя такие дисциплины и методы, как: оптимальное (математическое) программирование, методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию расписаний.

Оптимальное (математическое) программирование - раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении. В оптимальное (математическое) программирование входят:

• а) линейное программирование,
• б) нелинейное программирование,
• в) динамическое программирование,
• г) дискретное (целочисленное) программирование,
• д) дробно-линейное программирование,
• е) параметрическое программирование,
• ж) сепарабельное программирование,
• з) стохастическое программирование,
• и) геометрическое программирование.

Для успешного принятия оптимального решения необходимо знать, что такое математическая модель, уметь отбирать данные для ее построения и представлять, каким образом компьютер находит это решение (т.е. владеть информацией о возможных методах решения различных типов моделей и применяемых при этом алгоритмов).

Математическое моделирование имеет два существенных преимущества: 1) дает быстрый ответ на поставленный вопрос, на что в реальной обстановке могут потребоваться иногда даже годы; 2) предоставляет возможность широкого экспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастую просто невозможно.

Формализовать постановку задачи, т.е. перевести ее на язык математики, причем с конечным количеством неизвестных и возможных ограничений. При этом необходимо провести различие между теми величинами, значениями которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата (управляемыми переменными), и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами. Одни и те же величины, в зависимости от выбранных границ оптимизируемой системы и уровня детализации ее описания, могут оказаться либо управляемыми переменными, либо нет.

Определение тех значений управляемых переменных, которым соответствует наилучшая (оптимальная) ситуация, и представляет собой задачу оптимизации.

Модель экономической задачи оптимизации состоит из 3-х частей:

I. Целевая функция (критерий оптимальности). Здесь описывается конечная цель, преследуемая при решении задачи. В качестве такой цели может быть или максимум получения каких-либо показателей или минимум затрат.

II. Система ограничений.

Ограничения бывают основные и дополнительные. Основные, как правило, описывают расход основных производственных ресурсов (это консервативная часть модели). В модели они обязательно присутствуют. Дополнительные - могут иметь различный характер, являются изменяемой частью модели и отражают особенность моделирования задачи.

III. Условие неотрицательности переменных величин. А также граничные условия, которые показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым. Если математическая модель задачи оптимизации составлена правильно, то задача будет иметь целый ряд допустимых решений. Чтобы из всех возможных решений выбрать только одно, необходимо договориться, по какому признаку мы это будем делать. То есть речь идет о критерии оптимальности, который выбирает человек, принимающий решение. Таким образом, оптимальное решение - это решение, наилучшее из допустимых с точки зрения выбранного признака.

Однако, следует иметь в виду, что решение не всех оптимизационных проблем сводится к построению математических моделей и соответствующим вычислениям. Это связано с тем, что могут появиться обстоятельства, являющиеся существенными для решения проблемы, но, тем не менее, не поддающиеся математической формализации и, следовательно, не учитываемые в математической модели. Одним из таких обстоятельств является человеческий фактор. В этой связи можно вспомнить о так называемой «проблеме лифта». Служащие одной из фирм жаловались на слишком долгое ожидание лифта. Была попытка решить эту проблему математическими методами. Решение в силу ряда причин оказалось неприемлемым, а дальнейшие исследования показали, что время ожидания лифта невелико. Тогда возникла идея поставить на каждом этаже рядом со входом в лифт большие зеркала. Как только это было сделано, жалобы прекратились. Теперь люди рассматривали себя в зеркале и забывали о долгом ожидании лифта. Этот пример показывает необходимость правильно оценивать возможности математического описания исследуемых процессов и помнить, что в сфере организационного управления не все и не всегда поддается математической формализации и может быть адекватно отражено в математической модели.

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Кафедра прикладной математики

В. И. Соловьев

ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Ре ком е н д о в а н о

Ученым советом факультета математических методов и анализа рисков в качестве учебного пособия

для подготовки бакалавров экономики и менеджмента

Москва 2012

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я73

Рецензенты:

канд. техн. наук, проф. В. Н. Калинина (Государственный университет управления)

канд. физ.-мат. наук, доц.В. М. Гончаренко (Финансовый университет)

С60 Соловьев В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие. М.: Финансовый университет, 2012. 364 с.

ISBN 978-5-7942-ХХХХ-Х

Рассматривается теория и практика применения методов линейного, нелинейного и динамического программирования, многокритериальной оптимизации, оптимального управления, теории графов и теории игр в качестве инструмента поддержки принятия решений в экономике. Применение методов иллюстрируется конкретными примерами обоснования решений по планированию производства, управлению запасами и цепями поставок, изучению потребительского спроса, рыночного равновесия, конкуренции, управлению экономикой на макроуровне. В частности, в качестве приложений методов оптимального управления и теории игр излагаются собственные результаты автора по экономике рынка информационных технологий.

Пособие предназначено для подготовки бакалавров по направлениям «Экономика» и «Менеджмент». Может быть полезно студентам, обучающимся по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика и информатика», магистрантам, аспирантам, преподавателям и научным работникам.

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я73

О ГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие....................................
Введение	........................................
	Оптимальные решения в задачах планирования производства......
	Производственная функция................................................................................
	Модель поведения производителя.....................................................................
	Модели налогообложения..................................................................................
	Модель управления запасами.............................................................................
	.......................................................................
	Элементы линейной алгебры и балансовые модели экономики.....
	Векторы и матрицы.............................................................................................
	Линейные пространства......................................................................................
	Системы линейных алгебраических уравнений...............................................
	Неотрицательные решения систем линейных алгебраических уравнений...
	Обратная матрица................................................................................................
	Обращенный базис системы линейных алгебраических уравнений.............
	Модель межотраслевого баланса.......................................................................
	Контрольные вопросы и задания .......................................................................
	Методы линейного программирования............................................
	Постановка задачи линейного программирования..........................................
	Симплексный метод решения задач линейного программирования.............
	Метод искусственного базиса............................................................................
	Теория двойственности в линейном программировании................................
	Двойственный симплексный метод.................................................................
	Задачи целочисленного программирования...................................................
	Решение задач линейного программирования в пакете Microsoft Excel ....
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
	Оптимальные решения в линейных задачах
	управления производством и цепями поставок...............................
	Линейная задача планирования производства...............................................
	Задача о расшивке узких мест производства..................................................
	Транспортная задача.........................................................................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
	Методы нелинейного программирования.......................................
	Постановка задачи выпуклого программирования........................................
	Условия Каруша - Куна - Таккера..............................................................
	Метод возможных направлений......................................................................
	Метод условного градиента.............................................................................
	Метод штрафных функций...............................................................................
	Решение задач нелинейного программирования в пакете Microsoft Excel...
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................

	Оптимальные решения
	в задачах изучения потребительского спроса..................................
	Бюджетное множество и функции полезности..............................................
	Предпочтения потребителя и функция полезности.......................................
	Модель поведения потребителя.......................................................................
	Уравнение Слуцкого.........................................................................................
	Модель рыночного равновесия........................................................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
	Задачи динамического программирования в экономике...............
	Постановка задачи динамического программирования...............................
	Задача оптимального распределения инвестиций.........................................
	Многошаговая задача управления производством и запасами....................
	Дискретные модели ценообразования опционов...........................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
	Теория графов и ее экономические приложения............................
	Графы..................................................................................................................
	Задачи о кратчайшем и критическом пути.....................................................
	Потоки в сетях...................................................................................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
	Задачи многокритериальной оптимизации в экономике...............
	Постановка задачи многокритериальной оптимизации...............................
	Оптимальность по Парето................................................................................
	Субоптимизация................................................................................................
	Лексикографическая оптимизация..................................................................
	Свертка критериев.............................................................................................
	Метод идеальной точки....................................................................................
	Метод последовательных уступок...................................................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
ГЛАВА 10.Теория игр и ее экономические приложения..................................
§ 10.1. Матричные игры................................................................................................
§ 10.2. Принятие решений в условиях неопределенности........................................
§ 10.3. Биматричные игры............................................................................................
§ 10.4. Непрерывные игры............................................................................................
§ 10.5. Позиционные игры............................................................................................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
ГЛАВА 11.Моделирование поведения фирм на конкурентных рынках.........
§ 11.1. Модель поведения двух производителей на рынке одного товара.............
§ 11.2. Стратегии поведения дуополистов..................................................................
§ 11.3. Модели несовершенной и совершенной конкуренции..................................
§ 11.4. Модели конкуренции на рынке информационных технологий....................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................
ГЛАВА 12.Теория оптимального управления
	и ее экономические приложения.....................................................
§ 12.1. Постановка задачи оптимального управления...............................................
§ 12.2. Принцип максимума Понтрягина....................................................................
§ 12.3. Моделирование оптимального экономического роста..................................
§ 12.4. Моделирование динамики взаимодействия разработчиков
	коммерческого и некоммерческого программного обеспечения.................
	Контрольные вопросы и задания .....................................................................

П РЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено в соответствии с действующими Федеральными государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования по направлениям подготовки бакалавров «Экономика» (дисциплина «Методы оптимальных решений») и «Менеджмент» (дисциплина «Методы принятия управленческих решений»). Также во внимание принимался Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика и информатика».

Цель пособия - дать студентам знания и навыки применения математических методов оптимизации и исследования операций в качестве инструмента поддержки принятия экономических решений.

Пособие состоит из двенадцати глав, охватывающих классические методы оптимизации, методы линейной алгебры, линейного, нелинейного и динамического программирования, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, теории графов и теории игр.

Обсуждение каждой темы начинается с доступного изложения основных идей соответствующего метода, которое подкрепляется достаточно строгим математическим обоснованием и большим числом иллюстраций применения в конкретных задачах принятия решений.

Экономические приложения математических методов выходят в данной книге на первый план, серьезный акцент делается не только на методы решения задач, но и на построение математических моделей, анализ и экономическую интерпретацию полученных результатов.

Пособие знакомит студента с основными проблемами экономики и управления, при решении которых полезно применение математических методов и моделей: приводятся примеры обоснования решений по планированию производства, управлению запасами и цепями поставок, изучению потребительского спроса, рыночного равновесия и конкуренции, управлению экономикой на макроуровне.

Освоение пособия помогает студенту научиться ориентироваться в математических методах, чтобы уметь самому сформулировать задачу, перейти от ее экономической постановки к математической модели, провести анализ модели, доведя их до конкретных количественных результатов и

Книга основана на многолетнем опыте автора в преподавании математических методов оптимизации и исследования операций будущим экономистам, менеджерам, а также специалистам по прикладной математике, информатике и применению математических методов в экономике. Она имеет ряд особенностей, отличающих ее от похожих книг, изданных в последнее время.

Во-первых, пособие является в определенном смысле самодостаточным: для его освоения студенту необходимо владеть (помимо арифметики, элементарной алгебры и основ экономики) лишь классическим дифференциальным исчислением, весь остальной необходимый математический аппарат вводится в нужном объеме по мере необходимости. В частности, это относится к методам линейной алгебры: серьезное внимание уделено методу Жордана - Гаусса и его вычислительной реализации.

Во-вторых, систематизирована система обозначений. Так, все оптимизационные задачи формулируются в виде задач на максимум, а если в задаче присутствуют ограничения - неравенства, то они имеют вид « »; оптимальные решения всех задач обозначаются верхним индексом «* »; двойственные оценки в линейном программировании, множители Лагранжа в нелинейном программировании, сопряженные переменные в оптимальном управлении обозначаются одной и той же буквойy , чтобы подчеркнуть их общую природу. Точно так же управления в задачах динамического программирования и оптимального управления обозначаются одной и той же буквойu .

В-третьих, все рассматриваемые методы иллюстрируются доведенными до числовых результатов и содержательной интерпретации практическими примерами из экономики и управления, при этом задачи решаются не только с помощью ручных вычислений, но и с применением средств пакетаMicrosoft Excel .

В-четвертых, достаточно подробно по сравнению с другими пособиями излагаются и иллюстрируются практическими примерами методы нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации. Изложение теории игр также не ограничивается матричными играми: обсуждаются неантагонистические некооперативные и кооперативные игры, в том числе многошаговые и непрерывные.

В-пятых, доступным языком изложено применение динамического программирования к оценке американских опционов - ни в одном из известных автору пособий на русском языке такого изложения нет.

В-шестых, в данном пособии динамическое программирование рассматривается только в применении к дискретным процессам, а в качестве ме-

тода решения непрерывных задач оптимального управления излагается принцип максимума Понтрягина (с доказательством и примерами применения).

Для удобства читателей в каждой главе теоремы, другие важные утверждения и примеры имеют выделенное шрифтовое оформление, конец доказательства или решения обозначается знаком « ». Теоремы в книге не нумеруются, а рисунки, таблицы и формулы имеют трехступенчатую нумерацию: номер главы, номер параграфа, номер рисунка, таблицы или формулы. В конце каждой главы приводятся контрольные вопросы для самопроверки и задачи для решения на практических занятиях и самостоятельной работы.

Книга достаточно насыщена материалом, и преподаватель может по своему усмотрению выбирать необходимое для изучения подмножество. Это же обстоятельство позволяет использовать пособие в качестве математической поддержки дисциплин по выбору для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Прикладная математика и информатика», «Прикладная информатика», «Бизнес-информа- тика» и др. Кроме того, автор надеется, что часть материала, связанная с моделированием конкуренции на рынках интеллектуальных товаров, будет полезна при написании выпускных квалификационных работ, в том числе магистерских и кандидатских диссертаций.

адресу [email protected].

В ВЕДЕНИЕ

Человеческая деятельность связана с принятием множества решений по способам достижения поставленных целей. При принятии решений приходится учитывать много факторов, отметим среди таких факторов, в первую очередь, ограниченность ресурсов, неопределенность внешних условий, присутствие конкурирующих сторон, которые стремятся достичь своих целей, не всегда совпадающих с нашими.

Как известно, экономика занимается изучением того, как в обществе распределяются о г р а н и ч е н н ы е р е с у р с ы. Как правило, у экономической системы (семьи, фирмы, государства) есть некоторая ц е л ь, но на пути к достижению этой цели стоят о г р а н и ч е н и я по количеству используемых ресурсов. Рассмотрим пример задачи планирования

производства.

П РИМЕР В.1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции A, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 90 единиц первого ресурса, 50 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса.

Рыночная цена продукции A составляет 800 руб. а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?

Решение. Пусть предприятие планирует произвестиx 1 единиц продукции A иx 2 единиц продукции Б, тогда выручка предприятия будет, очевидно, равна

z = 800x 1 +1000x 2 .

Относительно величин x 1 иx 2 можно сказать следующее. Вопервых, они должны быть неотрицательными - отрицательный план производства продукции не имеет экономического смысла. Во вторых, общие расходы ресурсов при производствеx 1 единиц продукции A иx 2 единиц продукции Б не должны превысить запасы этих ресурсов.

Вычислим суммарный расход первого ресурса. На производство единицы продукции A тратится 1 единица первого ресурса, а всего про-

дукции A производится x 1 единиц, значит, на производство всей продукции A будет затрачено1 x 1 = x 1 единиц первого ресурса. Аналогично, на производство единицы продукции Б тратится 3 единицы первого ресурса, а всего продукции Б производитсяx 2 единиц, значит, на производство всей продукции Б будет затрачено3 x 2 единиц первого ресурса. Суммарный расход первого ресурса на производство всей продукции (и A, и Б) соста-

вит x 1 + 3 x 2 единиц. А в запасе есть всего 90 единиц этого ресурса. Значит, должно выполняться ограничение:x 1 + 3 x 2 90 . Добавляя аналогичные ограничения по второму и третьему ресурсам, приходим окончательно к следующей задаче.

Требуется найти такой п л а н				п р о и з в о д с т в а (т. е. числаx 1
и x 2 ) , чтобы выполнение				плана обеспечивало предприятию
наибольшую в ы р у ч к у
z = 800x 1 + 1000x 2 ® max
при о г р а н и ч е н и я х п о	р е с у р с а м
	x + 3 x
	x 1+ x 250,
и о г р а н и ч е н и я х н е о т р и ц а т е л ь н о с т и
	x 10,		x 20 .
Построим область точек на плоскости, где все пять ограничений
выполняются. Уравнение x 1 + 3 x 2 = 90				определяет множество точек плос-

кости, лежащих на некоторой прямой. Чтобы эту прямую построить, достаточно вспомнить, что любая прямая полностью определяется любыми своими двумя различными точками. Подставим в данное уравнение x 1 = 0,

	что 0 + 3 x 2 = 90 , откудаx 2 = 30. Итак, получили первую точку:
A (x 1 = 0,	x 2 = 30). Если подставить в данное уравнениеx 2 = 0, то получим:
x 1 + 3 × 0 = 90 или простоx 1 = 90. Получили вторую точкуB (x 1 = 90,		x 2 = 0).
Построим эту прямую: на рис. В.1, а она обозначена римской цифрой I.
Данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной
из полуплоскостей выполняется неравенство x 1 + 3 x 2 < 90 , а в другой -

венство x 1 + 3 x 2 > 90 . Проверим, какое из этих двух неравенств выполняется в

полуплоскости, которая лежит ниже и левее только что построенной прямой. Подставим в неравенство x 1 + 3 x 2 < 90 координаты точкиO (x 1 = 0,x 2 = 0):

0 + 3× 0< 90 - значит, и для всех остальных точек, которые лежат ниже и левее прямойx 1 + 3 x 2 = 90 , выполняется неравенствоx 1 + 3 x 2 < 90 .

Таким образом, ограничение x 1 + 3 x 2 90 выполняется во всех точ-

ках, лежащих на построенной прямой, а также левее и ниже нее. Обозначим на рис. В.1, а стрелкой ту полуплоскость, где выполняется данное неравенство.

Поступим таким же образом с остальными неравенствами: отметим на плоскости множества точек, которые этим неравенствам удовлетворяют

(рис. В.1, б ).

Пересечение этих множеств (полуплоскостей) образует пятиугольник OABCD , заштрихованный на рис. В.1,б .

Таким образом, любой план производства, соответствующий некоторой точке из заштрихованного пятиугольника, можно выполнить, такие планы называются допустимыми и мы замечаем, что, вообще говоря, их очень много. Как из них выбрать оптимальный, т. е. приносящий наибольшую выручку z = 800 x 1 + 1000 x 2 ?

Оказывается, что если оптимальный план существует, то он обязательно будет лежать в одной из угловых точек множества допустимых планов, т. е. в одной из вершин OABCD . Координаты точкиA мы знаем. Найдем координаты других вершин, например, точкиС .

Эта точка представляет собой пересечение прямых, которые задаются вторым из неравенств и третьим, т. е. в этой точке

x + x
2x 1

	Из уравнения 2 x 1 = 80 получаемx 1 = 40. Подставимx 1 = 40 в урав-
	x 1 + x 2 = 50 и получим, чтоx 2 = 10. Таким образом точкаС имеет
координаты		С (x 1 = 40,x 2 = 10). Аналогично получаем координаты всех
оставшихся вершин пятиугольника OABCD .
	Итак, оптимальное решение обязательно находится в одной из угловых
	O (x 1	0, x 2 = 0), в этой точке выручкаz = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 × 0 +
	1000× 0= 0 ;
	A (x 1	0, x 2 = 30), z = 800x 1 + 1000x 2 = 800× 0+ 1000× 30= 30 000;
	B (x 1	30, x 2 = 20), z = 800x 1 + 1000x 2 = 800× 30+ 1000× 20= 44 000;

∙ C (x 1 = 40, x 2 = 10), z = 800x 1 + 1000x 2 = 800× 40+ 1000× 10= 42 000;

∙ D (x 1 = 40, x 2 = 0), z = 800x 1 + 1000x 2 = 800× 40+ 1000× 0= 32 000.

Видим, что наибольшую выручку (44 000 руб.) обеспечит план B (x 1 = 30,x 2 = 20), по которому нужно произвести 30 единиц продукции A

и 20 единиц продукции Б.

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

УДК 51-77.330.4

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через xj – количество исходного материала (листов стали), которые необходимо раскроить по одному из способов j. Ограничения в задаче должны соответствовать плановому выходу заготовок различных видов. Целевая функция сводиться к нахождению минимума отходов при раскрое

https://pandia.ru/text/78/539/images/image018_31.gif" width="159" height="105 src=">

Пример 2. На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве a единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b1, b2,…,bl (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го способа (i = 1, 2,…,n) дает aik единиц k-го изделия (k = 1, 2,…,l). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через xi – число единиц материала, раскраиваемых i-ым способом, и x – число изготавливаемых комплектов изделий. Тогда целевая функция сводиться к нахождению

https://pandia.ru/text/78/539/images/image020_30.gif" width="163" height="116 src=">

1.4. Задача об использовании мощностей

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре. Требуется за время t выпустить n1, n2,…,nk единиц продукции p1, p2,…,pk Продукция производится на станках s1, s2,…,sm. Для каждого станка известны производительность aij, то есть число единиц продукции pj, которые можно произвести на станке si и затраты bij на изготовление продукции pj на станке si в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков, чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим через xij – время, в течении которого станок будет занят изготовлением продукции pj (i = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…,k) Тогда затраты на производство всей продукции выразятся функцией

https://pandia.ru/text/78/539/images/image023_31.gif" width="133" height="84 src=">

по номенклатуре и не отрицательности переменных

Неликвиды" href="/text/category/nelikvidi/" rel="bookmark">неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги , особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать не ликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 50% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах. Составим математическую модель задачи. Обозначим через x1 – средства в млн д. е., размещенные в кредитах, x2 – средства, вложенные в ценные бумаги. Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг

https://pandia.ru/text/78/539/images/image026_24.gif" width="39" height="20 src=">. Учитывая балансовое, кредитное и ликвидное ограничения, получим систему ограничений неравенств

https://pandia.ru/text/78/539/images/image028_27.gif" width="65" height="40">, (11)

при условиях

(12)

Функция (11) называется целевой функцией ЗЛП, а условия (12)- ограничениями ЗЛП.

Определение ..gif" width="108" height="25">, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

Определение . Основной (или канонической) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии, что система ограничений представлена в виде системы уравнений

https://pandia.ru/text/78/539/images/image032_29.gif" width="175" height="63 src=">

Определение . Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии, что система ограничений представлена в виде системы неравенств

https://pandia.ru/text/78/539/images/image034_27.gif" width="157" height="63">

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассмотрим ЗЛП с двумя переменными:

https://pandia.ru/text/78/539/images/image037_24.gif" width="112" height="103 src=">

Каждое неравенство системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1x1 + ai2x2 = bi, (i = 1,2,…,m). Условие неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми x1 = 0, x2 = 0. Если система неравенств совместна, то область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Совокупность этих точек будем называть многоугольником решений или областью допустимых решений (ОДР) ЗЛП. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств (граничные прямые).

Областью допустимых решений системы неравенств могут быть:

– выпуклый многоугольник;

– выпуклая многоугольная неограниченная область;

– пустая область;

– отрезок;

– единственная точка.

Целевая функция L определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение L. Целевая функция без свободного члена c1x1 + c2x2 = 0, проходит через начало координат и называется основной прямой. Вектор перпендикулярный этой прямой, указывает направление наискорейшего возрастания L, а противоположный вектор – направление убывания L.

Таким образом, геометрическая интерпретация ЗЛП заключается в нахождении (построении) многоугольника решений, каждая точка которого является допустимым решением ЗЛП. Среди этого множества решений надо отыскать точку многоугольника решений, координаты которой обращают в min или max целевую функцию.

Теорема. Если ЗЛП имеет оптимальный план, то целевая функция задачи принимает свое оптимальное значение в одной из вершин многоугольника решений.

Для определения данной вершины строится L = 0, проходящая через начало координат и перпендикулярно вектору, и передвигается в направлении этого вектора до тех пор, пока она не коснется последней крайней точки многоугольника решений. Координаты полученной точки определяют максимальное значение целевой функции L и максимальный план данной задачи.

Нахождение минимального значения L отличается от нахождения ее максимального значения лишь тем, что L = 0 передвигается не в направлении вектора , а в противоположном направлении.

Если в направлении вектора многоугольник решений неограничен, то .

3.2. Графический метод решения задач
линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации ЗЛП и включает следующие этапы:

– строят граничные прямые, уравнения которых получают в результате замены в системе ограничений ЗЛП знаков неравенств на знаки точных равенств;

– находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений неравенств ЗЛП;

– находят многоугольник решений (область допустимых решений);

– строят основную прямую с1x1 + c2x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору;

– перемещают прямую L = 0 в направлении вектора https://pandia.ru/text/78/539/images/image039_22.gif" width="60" height="20">. В результате находят точку (точки), в которой целевая функция принимает оптимальное решение, либо устанавливают неограниченность функции на множестве планов.