| Десятичная система | 16-ричная система | Десятичная система | 16-ричная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (0000) | 10 | A (1010) |
| 1 | 1(0001) | 11 | B (1011) |
| 2 | 2 (0010) | 12 | C (1100) |
| 3 | 3 (0011) | 13 | D (1101) |
| 4 | 4 (0100) | 14 | E (1110) |
| 5 | 5 (0101) | 15 | F (1111) |
| 6 | 6 (0110) | 16 | 10 (00010000) |
| 7 | 7 (0111) | 17 | 11 (00010001) |
| 8 | 8 (1000) | 18 | 12 (00010010) |
| 9 | 9 (1001) | 19 | 13 (00010011) |
Для перевода 16-ричного числа в десятичное необходимо умножить значение младшего (нулевого) разряда на единицу, значение следующего (первого) разряда на 16, второго разряда на 256 (16 2) и т.д., а затем сложить все произведения. Например, возьмем число A17F :
A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343
| Десятичная система | 8-ричная система | Десятичная система | 8-ричная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (000) | 10 | 12 (001010) |
| 1 | 1(001) | 11 | 13 (001011) |
| 2 | 2 (010) | 12 | 14 (001100) |
| 3 | 3 (011) | 13 | 15 (001101) |
| 4 | 4 (100) | 14 | 16 (001110) |
| 5 | 5 (101) | 15 | 17 (001111) |
| 6 | 6 (110) | 16 | 20 (010000) |
| 7 | 7 (111) | 17 | 21 (010001) |
| 8 | 10 (001000) | 18 | 22 (010010) |
| 9 | 11 (001001) | 19 | 23 (010011) |
Но каждому специалисту по цифровой аппаратуре (разработчику, оператору, ремонтнику, программисту и т.д.) необходимо научиться так же свободно обращаться с 16-ричной и двоичной системами, как и с обычной десятичной, чтобы никаких переводов из системы в систему не требовалось.
Значительно реже, чем 16-ричное, используется восьмеричное кодирование , которое строится по такому же принципу, что и 16-ричное, но двоичные разряды разбиваются на группы по три разряда. Каждая группа (разряд кода) затем обозначается одним символом. Каждый разряд 8-ричного кода может принимать восемь значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (табл. 2.5) .
Помимо рассмотренных кодов, существует также и так называемое двоично-десятичное представление чисел. Как и в 16-ричном коде, в двоично-десятичном коде каждому разряду кода соответствует четыре двоичных разряда, однако каждая группа из четырех двоичных разрядов может принимать не шестнадцать, а только десять значений, кодируемых символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть одному десятичному разряду соответствует четыре двоичных. В результате получается, что написание чисел в двоично-десятичном коде ничем не отличается от написания в обычном десятичном коде (табл. 2.6) , но в реальности это всего лишь специальный двоичный код, каждый разряд которого может принимать только два значения: 0 и 1. Двоично-десятичный код иногда очень удобен для организации десятичных цифровых индикаторов и табло.
| Десятичная система | Двоично-десятичная система | Десятичная система | Двоично-десятичная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (0000) | 10 | 10 (00010000) |
| 1 | 1(0001) | 11 | 11 (00010001) |
| 2 | 2 (0010) | 12 | 12 (00010010) |
| 3 | 3 (0011) | 13 | 13 (00010011) |
| 4 | 4 (0100) | 14 | 14 (00010100) |
| 5 | 5 (0101) | 15 | 15 (00010101) |
| 6 | 6 (0110) | 16 | 16 (00010110) |
| 7 | 7 (0111) | 17 | 17 (00010111) |
| 8 | 8 (1000) | 18 | 18 (00011000) |
| 9 | 9 (1001) | 19 | 19 (00011001) |
В двоичном коде над числами можно проделывать любые арифметические операции : сложение , вычитание , умножение , деление .
Рассмотрим, например, сложение двух 4-разрядных двоичных чисел. Пусть надо сложить число 0111 (десятичное 7) и 1011 (десятичное 11). Сложение этих чисел не сложнее, чем в десятичном представлении:
При сложении 0 и 0 получаем 0, при сложении 1 и 0 получаем 1, при сложении 1 и 1 получаем 0 и перенос в следующий разряд 1. Результат - 10010 (десятичное 18). При сложении любых двух n-разрядных двоичных чисел может получиться n-разрядное или (n+1) -разрядное число.
Точно так же производится вычитание . Пусть из числа 10010 (18) надо вычесть число 0111 (7). Записываем числа с выравниванием по младшему разряду и вычитаем точно так же, как в случае десятичной системы:
При вычитании 0 из 0 получаем 0, при вычитании 0 из 1 получаем 1, при вычитании 1 из 1 получаем 0, при вычитании 1 из 0 получаем 1 и заем 1 в следующем разряде. Результат - 1011 (десятичное 11).
При вычитании возможно получение отрицательных чисел, поэтому необходимо использовать двоичное представление отрицательных чисел.
Для одновременного представления как двоичных положительных, так и двоичных отрицательных чисел чаще всего используется так называемый дополнительный код . Отрицательные числа в этом коде выражаются таким числом, которое, будучи сложено с положительным числом такой же величины, даст в результате нуль. Для того чтобы получить отрицательное число, надо поменять все биты такого же положительного числа на противоположные (0 на 1, 1 на 0) и прибавить к результату 1. Например, запишем число –5. Число 5 в двоичном коде выглядит 0101. Заменяем биты на противоположные: 1010 и прибавляем единицу: 1011. Суммируем результат с исходным числом: 1011 + 0101 = 0000 (перенос в пятый разряд игнорируем).
по модулю 2 два двоичных числа 0111 и 1011:
Среди других побитовых операций над двоичными числами можно отметить функцию И и функцию ИЛИ. Функция И дает в результате единицу только тогда, когда в соответствующих битах двух исходных чисел обе единицы, в противном случае результат -0. Функция ИЛИ дает в результате единицу тогда, когда хотя бы один из соответствующих битов исходных чисел равен 1, в противном случае результат 0.
Для написания программ на Ассемблере, необходимо разобраться с шестнадцатеричной системой счисления. Ничего сложного в ней нет. Мы используем в жизни десятичную систему. Уверен, что вы все ее знаете, поэтому я постараюсь объяснить шестнадцатеричную систему, проводя аналогию с десятичной.
Итак, в десятичной системе если мы к какому-нибудь числу справа добавим нуль, то это число увеличится в 10 раз. Например: 1 х 10 = 10; 10 х 10 = 100; 100 х 10 = 1000 и т.д. В этой системе мы используем цифры от 0 до 9, т.е. десять разных цифр (собственно, поэтому она и называется десятичная).
В шестнадцатеричной системе мы используем, соответственно, шестнадцать "цифр". Я специально написал слово "цифр" в кавычках, т.к. в ней используются не только цифры. Да и в самом деле как так? Объясняю: от 0 до 9 мы считаем так же, как и в десятичной, а вот дальше будет так: A, B, C, D, E, F. Число F, как не трудно посчитать, будет равно 15 в десятичной системе (см. табл. 1).
Десятичное число |
Шестнадцатеричное число |
Т.о., если мы к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз.
Пример 1: 1 х 16 = 10; 10 х 16 = 100; 100 х 16 = 1000 и т.д.
Вы смогли отличить в Примере 1 шестнадцатеричные числа от десятичных? А из этого ряда: 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19? Это могут быть как шестнадцатеричные, так и десятичные. Для того, чтобы не было путаницы, и компьютер смог бы однозначно отличить одни числа от других, в Ассемблере принято после шестнадцатеричного числа ставить символ h или H (H это сокращение от англ. hexadecimal (шестнадцатеричное). Для краткости его иногда называют просто Hex ) . А после десятичного ничего не ставить. Т.к. числа от 0 до 9 в обоих системах имеют одинаковые значения, то числа, записанные как 5 и 5h одно и тоже.
Т.о. Пример 1 (см. выше) правильнее будет записать так: 1 х 16 = 10h; 10h x 16 = 100h; 100h x 16 = 1000h. Либо так: 1h x 10h = 10h; 10h x 10h = 100h; 100h x 10h = 1000h.
Для чего нужна шестнадцатеричная система, мы рассмотрим в последующих выпусках. А в данный момент для нашего примера программы, который будет рассмотрен ниже, нам необходимо знать о существовании шестнадцатеричных чисел.
Итак, подведем итог. Шестнадцатеричная система счисления состоит из 10 цифр (от 0 до 9) и 6 букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F). Если к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз. Очень важно уяснить данную тему , так как мы будем постоянно использовать ее при написании программ.
Теперь немного о том, как я буду строить примеры на Ассемблере. Не совсем удобно приводить их в HTML-формате, поэтому сперва будет сам код программы с пронумерованными строчками, а сразу же после него объяснения и примечания.
Примерно так:
| строк | Код программы |
| (1) | mov ah,9 |
Объяснения:
В строке (1) мы делаем то-то, а в строке (15) то-то.
Огромная просьба: НЕ копируйте программы со страницы в буфер, а затем не вставляйте их в Блокнот (или еще куда-нибудь)! Перепечатывайте их вручную в текстовом редакторе. Если есть принтер, то выделите программу, распечатайте выделенный фрагмент, а затем перебейте в редактор с бумаги. Все примеры нужно набирать самостоятельно! Это ускорит запоминание операторов.
И еще. Строчные и ПРОПИСНЫЕ буквы в Ассемблере не различаются. Записи вида:
Ассемблером воспринимаются одинаково. Можно, конечно, заставить Ассемблер различать строчные и ПРОПИСНЫЕ символы, но мы пока этого делать не будем. Для удобства чтения программы лучше всего операторы печатать строчными буквами, а названия подпрограмм и меток начинать с прописной. Но это как кому будет удобно.
Итак, переходим к нашей первой программе:
(1) CSEG segment
(2) org 100h
(4) Begin:
(6) mov ah,9
(7) mov dx,offset Message
(8) int 21h
(10) int 20h
(11)
(12) Message db "Hello, world!$"
(13) CSEG ends
(14) end Begin
Для того, чтобы объяснить все операторы данного примера, нам потребуется несколько выпусков. Поэтому описание некоторых команд мы просто опустим на данном этапе. Просто считайте, что так должно быть. В самое ближайшее время мы рассмотрим эти операторы подробно. Итак, строки с номерами (1), (2) и (13) вы просто игнорируете.
Строки (3), (5), (9) и (11) остаются пустыми. Это делается для наглядности. Ассемблер их будет просто опускать.
Теперь перейдем к рассмотрению остальных операторов. Со строки (4) начинается код программы. Это метка, указывающая Ассемблеру на начало кода. В строке (14) стоят операторы end Begin ( Begin англ. начало; end конец). Это конец программы. Вообще вместо слова Begin можно было бы использовать что-нибудь другое. Например, Start:. В таком случае, нам пришлось бы и завершать программу End Start (14).
Строки (6) (8) выводят на экран сообщение Hello, world!. Здесь придется вкратце рассказать о регистрах процессора (более подробно эту тему мы рассмотрим в следующем выпуске).
Регистр процессора это специально отведенная память для хранения какого-нибудь числа.
Например:
Если мы хотим сложить два числа, то в математике запишем так:
A, B и C это своего рода регистры (если говорить о компьютере), в которых могут хранится некоторые данные. А=5 можно прочитать как: Присваиваем А число 5 .
Для присвоения регистру какого-нибудь значения, в Ассемблере существует оператор mov (от англ. move загрузить). Строку (6) следует читать так: Загружаем в регистр AH число 9 (проще говоря, присваиваем AH число 9). Ниже рассмотрим зачем это надо.
В строке (7) загружаем в регистр DX адрес сообщения для вывода (в данном примере это будет строка Hello, world!$ ).
Прерывания будут подробно рассматриваться в последующих выпусках. Здесь я скажу несколько слов.
Прерывание MS-DOS это своего рода подпрограмма (часть MS-DOS) , которая находится постоянно в памяти и может вызываться в любое время из любой программы.
Рассмотрим вышесказанное на примере (мелким шрифтом выделим примечания ):
Программа сложения двух чисел
НачалоПрограммы
A=5 в переменную A заносим значение 5
B=8 в переменную B значение 8
ВызовПодпрограммы Сложение
теперь С равно 13
A=10 тоже самое, только другие числа
B=25
ВызовПодпрограммы Сложение
теперь С равно 35
КонецПрограммы
Подпрограмма Сложение
C=A+B
ВозвратИзПодпрограммы возвращаемся в то место, откуда вызывали
КонецПодпрограммы
В данном примере мы дважды вызвали подпрограмму Сложение , которая сложила два числа, переданные ей в переменных A и B. Результат помещается в переменную С. Когда вызывается подпрограмма, компьютер запоминает с какого места она была вызвана, а затем, когда закончила работу подпрограмма, компьютер возвращается в то место, откуда она вызывалась. Т.о. можно вызывать подпрограммы неопределенное количество раз с любого места.
При выполнении строки (8) программы на Ассемблере мы вызываем подпрограмму (в данном случае это называется прерывание), которая выводит на экран строку. Для этого мы, собственно, и помещаем необходимые значения в регистры. Всю необходимую работу (вывод строки, перемещение курсора) берет на себя подпрограмма. Эту строку можно прочитать так: вызываем двадцать первое прерывание ( int от англ. interrupt прерывание). Обратите внимание, что после числа 21 стоит буква h. Это, как мы уже знаем, шестнадцатеричное число (33 в десятичной системе). Конечно, нам ничего не мешает заменить строку int 21h на int 33. Программа будет работать корректно. Просто в Ассемблере принято указывать номер прерывания в шестнадцатеричной системе.
В строке (10) мы, как вы уже догадались, вызываем прерывание 20 h. Для вызова данного прерывания не нужно указывать какие-либо значения в регистрах. Оно выполняет только одну задачу: выход из программы (выход в DOS). В результате выполнения прерывания 20h, программа вернется туда, откуда ее запускали (загружали, вызывали). Например, в Norton Commander или DOS Navigator.
Строка (12) содержит сообщение для вывода. Первое слово ( message сообщение) название сообщения. Оно может быть любым (например, mess или string и пр.). Обратите внимание на строку (7), в которой мы загружаем в регистр DX адрес нашего сообщения.
Можно создать еще одну строку, которую назовем Mess2. Затем, начиная со строки (9) вставим следующие команды:
(10) mov dx,offset Mess2
(13) Message db "Hello, world!$"
(14) Mess2 db "Это Я! $"
и ассемблировать нашу программу заново. Надеюсь, что вы догадались, что произойдет
Обратите внимание на последний символ в строках Message и Mess2 - $. Он указывает на конец строки. Если мы его уберем, то 21 h прерывание продолжит вывод до тех пор, пока не встретится где-нибудь в памяти символ $. На экране мы увидим мусор .
Если у вас есть отладчик, то можно посмотреть как будет работать наша программа.
Целю настоящего выпуска не было разобраться подробно с каждым оператором . Это невозможно, т.к. у вас еще недостаточно знаний. Я полагаю, что уже через 3-4 выпуска вы поймете принцип и структуру программы на Ассемблере. Может быть, вам показался язык Ассемблера чрезвычайно сложным, но это, поверьте, с первого взгляда.
Всем, кто общается с компьютером или другой цифровой техникой, приходилось встречать загадочные записи типа 10FEF, которые кажутся непосвященным каким-то шифром. Что скрывается за этими символами? Оказывается, это просто цифры. Те, которые использует шестнадцатиричная
Системы счисления
Каждый школьник знает или хотя бы где-то слышал, что все цифры, которые мы обычно используем, образуют Это название она носит просто потому, что различных символов в ней всего десять (от 0 до 9). Любое число в нашей привычной системе может быть записано с их помощью. Однако, оказывается, использовать ее удобно бывает далеко не всегда. Например, при обмене информацией между цифровыми устройствами проще всего применять систему счисления, в которой есть только две цифры: «0» - нет сигнала - или «1» - есть сигнал (напряжение или что-то еще). Она называется двоичной. Однако, чтобы описать процессы внутри таких устройств с ее помощью, придется выполнять слишком длинные и трудные для понимания записи. Поэтому была придумана шестнадцатиричная система счисления.
Понятие шестнадцатеричной системы
Почему же для цифровых устройств используется именно система, которая содержит шестнадцать разных символов? Как известно, информация в компьютерах передается в виде байтов, которые обычно содержат 8 бит. А единица данных - машинное слово - включает в себя 2 байта, то есть 16 бит. Таким образом, с помощью шестнадцати разных символов можно описать ту информацию, которая является мельчайшей частицей при обмене. Шестнадцатиричная система счисления включает наши привычные цифры (естественно, от 0 до 9), а также первые буковки (A, B, C, D, E, F). Именно с помощью этих символов принято записывать любую единицу информации. С ними можно производить любые арифметические действия. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Результатом также будет шестнадцатеричное число.
Где применяется
Шестнадцатиричная система используется для записи кодов ошибок. Они могут возникать при работе различных программных продуктов. Например, так кодируются ошибки операционной системы. Каждое число при этом стандартное. Можно выяснить, какая именно ошибка произошла в процессе работы, расшифровав его с помощью инструкции. Также применяются такие символы при написании программ на языках низкого уровня, например ассемблере. Шестнадцатиричная система счисления любима программистами еще и потому, что ее составляющие очень легко могут быть переведены в двоичные, которые являются «родными» для всей цифровой техники. С помощью таких символов описывают также цветовые схемы. Кроме того, абсолютно все файлы в компьютере (и текстовые, и графические, и даже музыкальные или видео) представляются после трансляции в виде последовательности Просматривать исходный удобнее всего как раз в виде шестнадцатеричных символов.
Конечно, любое число можно записать в различных системах счисления. Это и десятичная, и двоичная, и шестнадцатеричная. Чтобы перевести слово из одной из них в другую, следует воспользоваться таким сервисом, как переводчик систем счисления, или сделать это самостоятельно с помощью определенного алгоритма.
Шестнадцатеричная система счисления , на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.
Как следует из названия, основанием данной системы является число шестнадцать 16 или в шестнадцатеричной системе 10 16 . Чтобы не было путаницы, при записи чисел в системах счисления отличных от десятичных, справа внизу от основной записи числа будем указывать основание системы счисления. Раз основанием системы является число шестнадцать, значит, для изображения чисел нам потребуется шестнадцать цифр. Первые десять цифр берутся из, привычной нам, десятичной системы (0,1,..,8,9) и еще добавляются шесть букв латинского алфавита (a,b,c,d,e,f) . Например в шестнадцатеричном числе 3f7c2 буквы "f" и "c" являются шестнадцатеричными цифрами.
Счет в шестнадцатеричной системе происходит аналогично счету в десятичной. Давайте попробуем считать и записывать числа конструируя их из имеющихся шестнадцати цифр:
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
Два
- 2
;
...
и так далее…
...
Восемь
- 8
;
Девять
- 9
;
Десять
- a
;
Одиннадцать
- b
;
Двенадцать
- c
;
Тринадцать
- d
;
Четырнадцать
- e
;
Пятнадцать
- f
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число Шестнадцать? Поступим аналогично тому как мы поступали в десятичной системе. Там мы вводили понятие десятка, здесь же введем понятие "шестнадцать" и скажем, что шестнадцать - это одина "шестнадцать" и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10 16 ".
Итак, Шестнадцать
- 10
16 (одна "шестнадцать", ноль единиц)
Семнадцать
- 11
16 (одна "шестнадцать", одна единица)
...
и так далее…
...
Двадцать пять
- 19
16 (одна "шестнадцать", девять единиц)
Двадцать шесть
- 1a
16 (одна "шестнадцать", десять единиц)
Двадцать семь
- 1b
16 (одна "шестнадцать", одинадцать единиц)
...
и так далее…
...
Тридцать
- 1e
16 (одна "шестнадцать", четырнадцать единиц)
Тридцать один
- 1f
16 (одна "шестнадцать", пятнадцать единиц)
Тридцать два
- 20
16 (две "шестнадцать", ноль единиц)
Тридцать три
- 21
16 (две "шестнадцать", одна единица)
...
и так далее…
...
Двести пятьдесят пять
- ff
16 (пятнадцать по "шестнадцать", пятнадцать единиц)
Двести пятьдесят шесть
- 100
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", ноль единиц)
Двести пятьдесят семь
- 101
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", одна единица)
Двести пятьдесят восемь
- 102
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", две единицы)
...
и так далее...
...
Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем по "шестнадцать", по "Двести пятьдесят шесть" и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 3e2c 16 записанное в шестнадцатиричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: три по четыре тысячи девяносто шесть, "e" (четырнадцать) по двести пятьдесят шесть, два по шестнадцать и "c" (двенадцать) единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 4096, 256, 16, 1 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0
Подобным образом для шестнадцатиричной дроби (дробного числа) например: 0.5a2 16 про него можно сказать, что оно содержит: пять шестнадцатых, "a" (десять) двести пятьдесят шестых и две четыретысячи девяносто шестых долей. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)
И здесь ряд чисел 1/16; 1/256 и 1/4096 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать и мы также можем записать:
0.5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3
Для смешанного числа 7b2.1f9 аналогичным образом можем записать:
7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3
Пронумеруем разряды целой части некоторого шестнадцатиричного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение некоторого шестнадцатиричного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 16 n +d n-1 16 n-1 +…+d 1 16 1 +d 0 16 0 +d -1 16 -1 +d -2 16 -2 +…+d -(m-1) 16 -(m-1) +d -m 16 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения шестнадцатиричного числа, т.е. числа записанного в шестнадцатиричной системе счисления. Если мы в этой формуле заменим число шестнадцать на некоторое произвольное число q , то получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления, т.е. с основанием q :
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
По этой формуле всегда можно вычислить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления с основанием q .
С другими системами счисления можно познакомиться на нашем сайте по следующим ссылкам.
Многие пользователи компьютеров понимают, что компьютер работает в двоичной системе счисления. Традиционно состояния двоичной системы представляются цифрами 0 и 1, хотя, если говорить более точнее, каждое состояние обозначает наличие или отсутствие сигнала, т. е. правильнее будет назвать состояния «выключено» и «включено», либо «нет» и «да». Состоянию «выключено» или «нет» соответствует цифра 0, а состоянию «включено» или «да» цифра 1. Простым пользователям обычно нет необходимости полностью понимать устройство компьютера, однако двоичная система счисления дает о себе знать в виде различных ограничений основанных на степени двойки. Более компактный вариант двоичной системы называют шестнадцатеричной. Число шестнадцать является четвертой степенью числа два. Из этого следует, что можно достаточно просто переводить длинных двоичные последовательностей из нулей и единиц в короткие шестнадцатеричные. Для этого достаточно разбить двоичную последовательность на группы по четыре разряда (цифры) начиная с младшего разряда (справа) и заменить каждую группу на соответствующее шестнадцатеричное значение.
Шестнадцатеричную систему принято использовать для удобства восприятия двоичных данных, так как переводы из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно осуществляются простой заменой строк. Компьютер работает исключительно с двоичными последовательностями, а шестнадцатеричная запись этой последовательности в четыре раза компактнее, так как у этой системы основание 16 (2 16), а двоичной 2. Двоичная последовательность может быть достаточно громоздкой. Например, запись числа 513 требует десять двоичных разрядов (1000000001), а в шестнадцатеричной только три (201). Тем не менее, для представления любых шестнадцатеричных чисел требуется шестнадцать разных символов, а не десять, которые используются в привычной нам десятичной системе счисления. Первые десять символов это символы в интервале от 0 по 9, остальные это буквы латинского алфавита в интервале от A по F. Буквы обычно (но не всегда) пишут в верхнем регистре (заглавные) в шестнадцатеричной записи числа. Первые десять символов (от 0 по 9) записываются аналогично цифрам в десятичной системе счисления и соответствуют им. Буквы в интервале от A по F соответствуют значениям в интервале от 10 до 15.
Рассмотрим соответствие чисел от 0 по 15 шестнадцатеричной и двоичной системам счисления.
| Десятичная запись | Шестнадцатеричная запись | Двоичная запись |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| 10 | A | 1010 |
| 11 | B | 1011 |
| 12 | C | 1100 |
| 13 | D | 1101 |
| 14 | E | 1110 |
| 15 | F | 1111 |
Записи 10, 11 и т. д. в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах не соответствуют друг другу. Рассмотрим небольшой пример. Пусть у нас имеется шестнадцатеричное число число 1A5E. для перевода в двоичную запись достаточно просто заменить шестнадцатеричные разряды на соответствующие двоичные группы. Получится 0001 1010 0101 1110. Если убрать незначащие нули перед числом и записать его без разделителей получим 1101001011110. Для обратного перевода разделим число на группы по четыре разряда начиная с младшего (с правой стороны), а также для удобства добавим незначащие нули в старшей группе до 4 разрядов. Получим 0001 1010 0101 1110. Заменим группы на соответствующие шестнадцатеричные значения, получим 1A5E.
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное представление можно воспользоваться схемой по которой мы записываем десятичные числа. В десятичном числе каждый разряд обозначает соответствующую степень числа десять начиная с нулевой с возрастанием справа налево. Например, десятичное число 123 обозначает 1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0 . Аналогичным методом переведем число 1A5E в десятичную систему счисления. В шестнадцатеричной системе счисления, также как и в десятичной каждый разряд обозначает соответствующую степень числа шестнадцать начиная с нулевой с возрастанием справа налево. Символы 1 и 5 в шестнадцатеричной системе счисления соответствуют значениям 1 и 5 в десятичной, а символы A и E - 10 и 14. Тогда 1A5E можно представить в десятичной системе счисления как 1*16 3 + 10*16 2 + 5*16 1 + 14*16 0 = 6750. Однако для оценки шестнадцатеричных чисел вовсе не обязательно переводить их в десятичные. Правила сравнения, сложения и умножения в этой системе такие же как и в десятичной, главное не забывать, что каждый разряд может содержать значения от 0 до 15. Для более быстрого перевода числе между система счисления можно воспользоваться стандартным калькулятором в Windows, для этого достаточно в расширенном режиме калькулятора выбрать систему счисления, ввести в ней число и выбрать нужную систему счисления, в которой следует отобразить результат.
Так как шестнадцатеричные числа, состоящие только из чисел, легко спутать с десятичными, их обычно помечают так, чтобы было ясно, что используется именно шестнадцатеричная запись. Шестнадцатеричные записи обычно помечают либо добавлением в конец строчной буквы „h”, либо приставки „0x” перед записью числа. Таким образом шестнадцатеричное число 1A5E может быть записано как 1A5Eh или 0x1A5E, где „h” на конце или „0x” в начале обозначают, что используется шестнадцатеричная запись.