Отложенные вычисления

В традиционных языках программирования (например, C++) вызов функции приводит к вычислению всех аргументов. Этот метод вызова функции называется вызов-по-значению. Если какой-либо аргумент не использовался в функции, то результат вычислений пропадает, следовательно, вычисления были произведены впустую. В каком-то смысле противоположностью вызова-по-значению является вызов-по-необходимости. В этом случае аргумент вычисляется, только если он нужен для вычисления результата. Примером такого поведения можно взять оператор конъюнкции всё из того же C++ (&&), который не вычисляет значение второго аргумента, если первый аргумент имеет ложное значение.

Если функциональный язык не поддерживает отложенные вычисления, то он называется строгим. На самом деле, в таких языках порядок вычисления строго определен. В качестве примера строгих языков можно привести Scheme, Standard ML и Caml.

Языки, использующие отложенные вычисления, называются нестрогими. Haskell - нестрогий язык, так же как, например, Gofer и Miranda. Нестрогие языки зачастую являются чистыми.

Очень часто строгие языки включают в себя средства поддержки некоторых полезных возможностей, присущих нестрогим языкам, например бесконечных списков. В поставке Standard ML присутствует специальный модуль для поддержки отложенных вычислений. А Objective Caml помимо этого поддерживает дополнительное зарезервированное слово lazy и конструкцию для списков значений, вычисляемых по необходимости.

В этом разделе приведено краткое описание некоторых языков функционального программирования (очень немногих).

§ Lisp (List processor). Считается первым функциональным языком программирования. Нетипизирован. Содержит массу императивных свойств, однако в общем поощряет именно функциональный стиль программирования. При вычислениях использует вызов-по-значению. Существует объектно-ориентированный диалект языка - CLOS.

§ ISWIM (If you See What I Mean). Функциональный язык-прототип. Разработан Ландиным в 60-х годах XX века для демонстрации того, каким может быть язык функционального программирования. Вместе с языком Ландин разработал и специальную виртуальную машину для исполнения программ на ISWIM’е. Эта виртуальная машина, основанная на вызове-по-значению, получила название SECD-машины. На синтаксисе языка ISWIM базируется синтаксис многих функциональных языков. На синтаксис ISWIM похож синтаксис ML, особенно Caml.

§ Scheme . Диалект Lisp’а, предназначенный для научных исследований в области computer science. При разработке Scheme был сделан упор на элегантность и простоту языка. Благодаря этому язык получился намного меньше, чем Common Lisp.

§ ML (Meta Language). Семейство строгих языков с развитой полиморфной системой типов и параметризуемыми модулями. ML преподается во многих западных университетах (в некоторых даже как первый язык программирования).

§ Standard ML . Один из первых типизированных языков функционального программирования. Содержит некоторые императивные свойства, такие как ссылки на изменяемые значения и поэтому не является чистым. При вычислениях использует вызов-по-значению. Очень интересная реализация модульности. Мощная полиморфная система типов. Последний стандарт языка - Standard ML-97, для которого существует формальные математические определения синтаксиса, а также статической и динамической семантик языка.

§ Caml Light и Objective Caml . Как и Standard ML принадлежит к семейству ML. Objective Caml отличается от Caml Light в основном поддержкой классического объектно-ориентированного программирования. Также как и Standard ML строгий, но имеет некоторую встроенную поддержку отложенных вычислений.

§ Miranda . Разработан Дэвидом Тернером, в качестве стандартного функционального языка, использовавшего отложенные вычисления. Имеет строгую полиморфную систему типов. Как и ML преподаётся во многих университетах. Оказал большое влияние на разработчиков языка Haskell.

§ Haskell . Один из самых распространённых нестрогих языков. Имеет очень развитую систему типизации. Несколько хуже разработана система модулей. Последний стандарт языка - Haskell-98.

§ Gofer (GOod For Equational Reasoning). Упрощённый диалект Haskell’а. Предназначен для обучения функциональному программированию.

§ Clean . Специально предназначен для параллельного и распределённого программирования. По синтаксису напоминает Haskell. Чистый. Использует отложенные вычисления. С компилятором поставляется набор библиотек (I/O libraries), позволяющих программировать графический пользовательский интерфейс под Win32 или MacOS.

Напомним, что важнейшей характеристикой функционального подхода является то обстоятельство, что всякая программа, разработанная на языке функционального программирования, может рассматриваться как функция, аргументы которой, возможно, также являются функциями.

Функциональный подход породил целое семейство языков, родоначальником которых, как уже отмечалось, стал язык программирования LISP. Позднее, в 70-х годах, был разработан первоначальный вариант языка ML, который впоследствии развился, в частности, в SML, а также ряд других языков. Из них, пожалуй, самым "молодым" является созданный уже совсем недавно, в 90-х годах, язык Haskell.

Важным преимуществом реализации языков функционального программирования является автоматизированное динамическое распределение памяти компьютера для хранения данных. При этом программист избавляется от необходимости контролировать данные, а если потребуется, может запустить функцию «сборки мусора» – очистки памяти от тех данных, которые больше не понадобятся программе.

Сложные программы при функциональном подходе строятся посредством агрегирования функций. При этом текст программы представляет собой функцию, некоторые аргументы которой можно также рассматривать как функции. Таким образом, повторное использование кода сводится к вызову ранее описанной функции, структура которой, в отличие от процедуры императивного языка, математически прозрачна.

Поскольку функция является естественным формализмом для языков функционального программирования, реализация различных аспектов программирования, связанных с функциями, существенно упрощается. Интуитивно прозрачным становится написание рекурсивных функций, т.е. функций, вызывающих самих себя в качестве аргумента. Естественной становится и реализация обработки рекурсивных структур данных.

Благодаря реализации механизма сопоставления с образцом, такие языки функционального программирования как ML и Haskell хорошо использовать для символьной обработки.

Естественно, языки функционального программирования не лишены и некоторых недостатков.

Часто к ним относят нелинейную структуру программы и относительно невысокую эффективность реализации. Однако первый недостаток достаточно субъективен, а второй успешно преодолен современными реализациями, в частности, рядом последних трансляторов языка SML, включая и компилятор для среды Microsoft .NET.

Для профессиональной разработки программного обеспечения на языках функционального программирования необходимо глубоко понимать природу функции.

Заметим, что под термином "функция" в математической формализации и программной реализации имеются в виду различные понятия.

Так, математической функцией f с областью определения A и областью значений B называется множество упорядоченных пар

таких, что если

(a,b 1) f и (a,b 2) f,

В свою очередь, функцией в языке программирования называется конструкция этого языка, описывающая правила преобразования аргумента (так называемого фактического параметра) в результат.

Для формализации понятия "функция" была построена математическая теория, известная под названием лямбда-исчисления. Более точно это исчисление следует именовать исчислением лямбда-конверсий.

Под конверсией понимается преобразование объектов исчисления (а в программировании – функций и данных) из одной формы в другую. Исходной задачей в математике было стремление к упрощению формы выражений. В программировании именно эта задача не является столь существенной, хотя, как мы увидим в дальнейшем, использование лямбда-исчисления как исходной формализации может способствовать упрощению вида программы, т.е. вести к оптимизации программного кода.

Кроме того, конверсии обеспечивают переход к вновь введенным обозначениям и, таким образом, позволяют представлять предметную область в более компактном либо более детальном виде, или, говоря математическим языком, изменять уровень абстракции по отношению к предметной области. Эту возможность широко используют также языки объектно-ориентированного и структурно-модульного программирования в иерархии объектов, фрагментов программ и структур данных. На этом же принципе основано взаимодействие компонентов приложения в.NET. Именно в этом смысле переход к новым обозначениям является одним из важнейших элементов программирования в целом, и именно лямбда-исчисление (в отличие от многих других разделов математики) представляет собой адекватный способ формализации переобозначений.

Систематизируем эволюцию теорий, лежащих в основе современного подхода к лямбда-исчислению.

Рассмотрим эволюцию языков программирования, развивающихся в рамках функционального подхода.

Ранние языки функционального программирования, которые берут свое начало от классического языка LISP (LISt Processing), были предназначены, для обработки списков, т.е. символьной информации. При этом основными типами были атомарный элемент и список из атомарных элементов, а основной акцент делался на анализе содержимого списка.

Развитием ранних языков программирования стали языки функционального программирования с сильной типизацией, характерным примером здесь является классический ML, и его прямой потомок SML. В языках с сильной типизацией каждая конструкция (или выражение) должна иметь тип.

При этом в более поздних языках функционального программирования нет необходимости в явном приписывании типа, и типы изначально неопределенных выражений, как в SML, могут выводиться (до запуска программы), исходя из типов связанных с ними выражений.

Следующим шагом в развитии языков функционального программирования стала поддержка полиморфных функций, т.е. функций с параметрическими аргументами (аналогами математической функции с параметрами). В частности, полиморфизм поддерживается в языках SML, Miranda и Haskell.

На современном этапе развития возникли языки функционального программирования "нового поколения" со следующими расширенными возможностями: сопоставление с образцом (Scheme, SML, Miranda, Haskell), параметрический полиморфизм (SML) и так называемые "ленивые" (по мере необходимости) вычисления (Haskell, Miranda, SML).

Семейство языков функционального программирования довольно многочисленно. Об этом свидетельствует не столько значительный список языков, сколько тот факт, что многие языки дали начало целым направлениям в программировании. Напомним, что LISP дал начало целому семейству языков: Scheme, InterLisp, COMMON Lisp и др.

Не стал исключением и язык программирования SML, который был создан в форме языка ML Р. Милнером (Robin Milner) в MIT (Massachusetts Institute of Technology) и первоначально предназначен для логических выводов, в частности, доказательства теорем. Язык отличается строгой типизацией, в нем отсутствует параметрический полиморфизм.

Развитием "классического" ML стали сразу три современных языка с практически одинаковыми возможностями (параметрический полиморфизм, сопоставление с образцом, "ленивые" вычисления). Это язык SML, разработанный в Великобритании и США, CaML, созданный группой французских ученых института INRIA, SML/NJ – диалект SML из New Jersey, а также российская разработка – mosml ("московский" диалект ML).

Близость к математической формализации и изначальная функциональная ориентированность послужили причиной следующих преимуществ функционального подхода:

1. простота тестирования и верификации программного кода на основе возможности построения строгого математического доказательства корректности программ;

2. унификация представления программы и данных (данные могут быть инкапсулированы в программу как аргументы функций, означивание или вычисление значения функции может производиться по мере необходимости);

3. безопасная типизация: недопустимые операции с данными исключены;

4. динамическая типизация: возможно обнаружение ошибок типизации во время выполнения (отсутствие этого свойства в ранних языках функционального программирования может приводить к переполнению оперативной памяти компьютера);

5. независимость программной реализации от машинного представления данных и системной архитектуры программы (программист сосредоточен на деталях реализации, а не на особенностях машинного представления данных).

Заметим, что реализация преимуществ, которые предоставляют языки функционального программирования, существенно зависит от выбора программно-аппаратной платформы.

В случае выбора в качестве программной платформы технологии.NET, практически вне зависимости от аппаратной реализации, программист или руководитель программного проекта дополнительно получает следующие преимущества:

1. интеграция различных языков функционального программирования (при этом максимально используются преимущества каждого из языков, в частности, Scheme предоставляет механизм сопоставления с образцом, а SML – возможность вычисления по мере необходимости);

2. интеграция различных подходов к программированию на основе межъязыковой инфраструктуры Common Language Infrastructure, или CLI (в частности, возможно использование C# для обеспечения преимуществ объектно-ориентированного подхода и SML – функционального, как в настоящем курсе);

3. общая унифицированная система типизации Common Type System, CTS (единообразное и безопасное управление типами данных в программе);

4. многоступенчатая, гибкая система обеспечения безопасности программного кода (в частности, на основе механизма сборок).

Основными особенностями функциональных языков программирования, отличающими их как от императивных языков, так и от языков логического программирования, являются прозрачность по ссылкам и детерминизм. В функциональных языках существует значительный разброс по таким параметрам как типизация, правила вычисления. Во многих языках порядок вычисления строго определен. Но иногда строгие языки содержат средства поддержки некоторых полезных элементов, присущих нестрогим языкам, например бесконечных списков (в Standard ML присутствует специальный модуль для поддержки отложенных вычислений). Напротив, нестрогие языки позволяют в некоторых случаях выполнять энергичные вычисления.

Так, Miranda имеет ленивую семантику, но позволяет специфицировать строгие конструкторы, пометив определенным образом аргументы конструктора.

Многие современные языки функционального программирования являются строго типизированными языками (строгая типизация). Строгая типизация обеспечивает большую безопасность. Многие ошибки могут быть исправлены на стадии компиляции, поэтому стадия отладки и общее время разработки программ сокращаются. Строгая типизация позволяет компилятору генерировать более эффективный код и тем самым ускорять выполнение программ. Наряду с этим, существуют функциональные языки с динамической типизацией. Тип данных в таких языках определяется во время выполнения программы (гл. 3). Иногда их называют «безтиповыми». К их, достоинствам следует отнести то, что программы, написанные на этих языках, обладают большей общностью. Недостатком можно считать отнесение многих ошибок на стадию выполнения программы и связанную с этим необходимость применения функций проверки типов и соответствующее сокращение общности программы. Типизированные языки способствуют генерации более «надежного» кода, а типизированные более «общего».

Следующим критерием, по которому можно провести классификацию функциональных языков программирования, может стать наличие императивных механизмов. При этом принято называть функциональные языки программирования, лишенные императивных механизмов, «чистыми», а имеющие их – «нечистыми». В обзоре функциональных языков программирования, приведенном ниже, языки программирования будут называться «практическими» и «академическими». Под «практическими» языками понимаются языки, имеющие коммерческое приложение (на них разрабатывались реальные приложения или были коммерческие системы программирования). Академические языки программирования имеют популярность в исследовательских кругах и в области компьютерного образования, но коммерческих приложений, написанных на таких языках, практически нет. Они остаются всего лишь инструментом при проведении теоретических исследований в области информатики и широко используются в образовательном процессе.

Перечень наиболее популярных функциональных языков программирования приводится ниже с использованием следующих критериев: общие сведения; типизация; вид вычисления; чистота.

Common Lisp. Версия Лиспа, которая с 1970 г. может считаться стандартом языка, благодаря поддержке со стороны лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института, безтиповый, энергичный, с большим набором императивных включений, допускающих присваивание, разрушение структур. Практический. Достаточно сказать, что на Лиспе был написан векторный графический редактор Автокад.

Scheme. Диалект Лиспа, предназначенный для научных исследований в области компьютерной науки и обучения функциональному программированию. Благодаря отсутствию императивных включений язык получился намного меньше, чем Common Lisp. Восходит к языку, разработанному Дж. Маккарти в 1962 г. Академический, безтиповый, энергичный, чистый.

Refal. Семейство языков, разработанных В. Ф. Турчиным. Старейший член этого семейства впервые реализован в 1968 году в России. Широко используется и поныне в академических кругах. Содержит элементы логического программирования (сопоставление с образцом). Поэтому язык Refal предлагается в данном учебном пособии в качестве языка для самостоятельного изучения.

Miranda. Строго типизированный, поддерживает типы данных пользователя и полиморфизм. Разработан Тернером на основе более ранних языков SALS и KRC. Имеет ленивую семантику. Без императивных включений.

Haskell. Развитие языка пришлось на конец прошлого века. Широко известен в академических кругах. В некоторых западных университетах используется в качестве основного языка для изучения студентами. Один из наиболее мощных функциональных языков. Ленивый язык. Чисто функциональный язык. Типизированный. Haskell – отличный инструмент для обучения и экспериментов со сложными функциональными типами данных. Программы, написанные на Haskell, имеют значительный размер объектного кода и невысокую скорость исполнения.

Clean. Диалект Haskell, приспособленный к нуждам практического программирования. Как и Haskell, является ленивым чисто функциональным языком, содержит классы типов. Но Clean также содержит интересные особенности, которые не имеют эквивалента в Haskell. Например, императивные возможности в Clean основаны на уникальных типах, идея которых заимствована из линейной логики (linear logic). Clean содержит механизмы, которые позволяют значительно улучшить эффективность программ. Сред этих механизмов явное подавление отложенных вычислений. Реализация Clean является коммерческим продуктом, но свободная версия доступна для исследовательских и образовательных целей.

ML(Meta Language). Разработан группой программистов во главе с Робертом Милиером в середине 70-х гг. в Эдинбурге (Edinburgh Logic for Computable Functions). Идея языка состояла в создании механизма для построения формальных доказательств в системе логики для вычислимых функций. В 1983 язык был пересмотрен дополнен такими концепциями, как модули. Стал называться стандартный ML. ML – это сильно типизированный язык со статическим контролем типов и аппликативным выполнением программ. Он завоевал большую популярность в исследовательских кругах и в области компьютерного образования.

Если вы такой же разработчик, как и я, то наверняка сперва изучали парадигму ООП. Первым вашим яыком были Java или C++ - или, если вам повезло, Ruby, Python или C# - поэтому вы наверняка знаете, что такое классы, объекты, экземпляры и т.д. В чём вы точно не особо разбираетесь, так это в основах той странной парадигмы, называющейся функциональным программированием, которая существенно отличается не только от ООП, но и от процедурного, прототипно-ориентированного и других видов программирования.

Функциональное программирование становится популярным - и на то есть причины. Сама парадигма не нова: Haskell , пожалуй, является самым функциональным языком, а возник он в 90-ых. Такие языки, как Erlang, Scala, Clojure также попадают под определение функциональных. Одним из основных преимуществ функционального программирования является возможность написания программ, работающих конкурентно (если вы уже забыли, что это - освежите память прочтением ), причём без ошибок - то есть взаимные блокировки и потокобезопасность вас не побеспокоят.

У функционального программирования есть много преимуществ, но возможного максимального использования ресурсов процессора благодаря конкурентному поведению - это его главный плюс. Ниже мы рассмотрим основные принципы функционального программирования.

Вступление : Все эти принципы не обязательны (многие языки следуют им не полностью). Все они теоретические и нужны для наиболее точного определения функциональной парадигмы.

1. Все функции - чистые

Это правило безусловно является основным в функциональном программировании. Все функции являются чистыми, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Функция, вызываемая от одних и тех же аргументов, всегда возвращает одинаковое значение.
2. Во время выполнения функции не возникают побочные эффекты .

Первое правило понятно - если я вызываю функцию sum(2, 3) , то ожидаю, что результат всегда будет равен 5. Как только вы вызываете функцию rand() , или обращаетесь к переменной, не определённой в функции, чистота функции нарушается, а это в функциональном программировании недопустимо.

Второе правило - никаких побочных эффектов - является более широким по своей природе. Побочный эффект - это изменение чего-то отличного от функции, которая исполняется в текущий момент. Изменение переменной вне функции, вывод в консоль, вызов исключения, чтение данных из файла - всё это примеры побочных эффектов, которые лишают функцию чистоты. Может показаться, что это серьёзное ограничение, но подумайте ещё раз. Если вы уверены, что вызов функции не изменит ничего «снаружи», то вы можете использовать эту функцию в любом сценарии. Это открывает дорогу конкурентному программированию и многопоточным приложениям.

2. Все функции - первого класса и высшего порядка

Эта концепция - не особенность ФП (она используется в Javascript, PHP и других языках) - но его обязательное требование. На самом деле, на Википедии есть целая статья, посвящённая функциям первого класса . Для того, чтобы функция была первоклассной, у неё должна быть возможность быть объявленной в виде переменной. Это позволяет управлять функцией как обычным типом данных и в то же время исполнять её.

3. Переменные неизменяемы

Тут всё просто. В функциональном программировании вы не можете изменить переменную после её инициализации. Вы можете создавать новые, но не можете изменять существующие - и благодаря этому вы можете быть уверены, что никакая переменная не изменится.

4. Относительная прозрачность функций

Сложно дать корректное определение относительной прозрачности . Самым точным я считаю такое: если вы можете заменить вызов функции на возвращаемое значение, и состояние при этом не изменится, то функция относительно прозрачна. Это, быть может, очевидно, но я приведу пример.

Пусть у нас есть Java-функция, которая складывает 3 и 5:

Public int addNumbers(){ return 3 + 5; } addNumbers() // 8 8 // 8

Очевидно, что любой вызов этой функции можно заменить на 8 - значит, функция относительно прозрачна. Вот пример непрозрачной функции:

Public void printText(){ System.out.println("Hello World"); } printText() // Returns nothing, but prints "Hello World"

Эта функция ничего не возвращает, но печатает текст, и при замене вызова функции на ничто состояние консоли будет другим - значит, функция не является относительно прозрачной.

5. Функциональное программирование основано на лямбда-исчислении

Функциональное программирование сильно опирается на математическую систему, называющуюся лямбда-исчислением . Я не математик, поэтому я не буду углубляться в детали - но я хочу обратить внимание на два ключевых принципа лямбда-исчисления, которые формируют самое понятие функционального программирования:

1. В лямбда-исчислении все функции могут быть анонимными, поскольку единственная значимая часть заголовка функции - это список аргументов.
2. При вызове все функции проходят процесс каррирования . Он заключается в следующем: если вызывается функция с несколькими аргументами, то сперва она будет выполнена лишь с первым аргументом и вернёт новую функцию, содержащую на 1 аргумент меньше, которая будет немедленно вызвана. Этот процесс рекурсивен и продолжается до тех пор, пока не будут применены все аргументы, возвращая финальный результат. Поскольку функции являются чистыми, это работает.

Как я уже говорил, лямбда-исчисление на этом не заканчивается - но мы рассмотрели лишь ключевые аспекты, связанные с ФП. Теперь, в разговоре о функциональном программировании вы сможете блеснуть словечком «лямбда-исчисление», и все подумают, что вы шарите 🙂

Подобные языки к функциональным, использующим менее строгое понятие. Функция в математике не может изменить вызывающее её окружение и запомнить результаты своей работы, а только предоставляет результат вычисления функции. Программирование с использованием математического понятия функции вызывает некоторые трудности, поэтому функциональные языки, в той или иной степени предоставляют и императивные возможности, что ухудшает дизайн программы (например возможность безболезненных дальнейших изменений). Дополнительное отличие от императивных языков программирования заключается в декларативности описаний функций. Тексты программ на функциональных языках программирования описывают «как решить задачу», но не предписывают последовательность действий для решения. Первым, спроектированным функциональным языком стал Лисп . Вариант данного языка широко используется в системе автоматизированного проектирования AutoLISP

В качестве основных свойств функциональных языков программирования обычно рассматриваются следующие:

• краткость и простота;
• строгая типизация;
• модульность;
• функции - объекты вычисления;
• отложенные (ленивые) вычисления.

Некоторые языки функционального программирования

Miranda (какое семейство?)

Ссылки

• http://roman-dushkin.narod.ru/fp.html - Курс лекций по функциональному программированию , читаемый в МИФИ с 2001 года.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Функциональный язык программирования" в других словарях:

Язык программирования, позволяющий задавать программу в виде совокупности определений функций. В функциональных языках программирования: функции обмениваются между собой данными без использования промежуточных переменных и присваиваний;… … Финансовый словарь

функциональный язык - Язык программирования, в котором действия над данными выражаются в виде обращений к функциональным процедурам. [ГОСТ 19781 90] Тематики обеспеч. систем обраб. информ. программное EN functional language … Справочник технического переводчика

Ruby Семантика: мультипарадигмальный Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1995 г. Автор(ы): Юкихиро Мацумото Последняя версия: 1.9.1 … Википедия

Функциональный язык - 37. Функциональный язык Functional language Язык программирования, в котором действия над данными выражаются в виде обращений к функциональным процедурам Источник: ГОСТ 19781 90: Обеспечение систем обработки информации программное. Термины и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Erlang Файл:Erlang logo.png Семантика: мультипарадигмальный: конкурентное, функциональное программирование Появился в: 1987 г. Автор(ы): Типизация данных: строгая, динамическая Основные реализации: E … Википедия

Scheme Семантика: функциональный Тип исполнения: интерпретатор или компилятор Появился в: 1970 г. Автор(ы): Гай Стил и Джеральд Сассмен Типизация данных … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Миранда. Miranda функциональный язык программирования, созданный в 1985 году Дэвидом Тёрнером в качестве стандартного функционального языка. Имеет строгую полиморфную систему типов,… … Википедия

Hope функциональный язык программирования, разработанный в начале 1980 х годов; является предшественником языков Miranda и Haskell. В журнале Byte за август 1985 впервые опубликовано руководство по языку Hope. Пример программы вычисления… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. SASL. SASL полностью функциональный язык программирования, разработанный Дэвидом Тёрнером в Сент Эндрюсском университете в 1972 году, на базе аппликативного подмножества ISWIM. В 1976 году… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Scala. Scala Класс языка: Мультипарадигмальный: функ … Википедия

Книги

• Программирование в Clojure. Практика применения Lisp в мире Java , Эмерик Ч., Карпер Б., Гранд К.. Почему многие выбирают Clojure? Это - функциональный язык программирования, не только позволяющий пользоваться Java-библиотеками, службами и другими ресурсами JVM, но и соперничающий с…

Мне всегда хотелось написать серию статей по функциональному программированию для этого журнала, и я очень рад, что у меня наконец-то появилась такая возможность. Даже несмотря на то, что моя серия про анализ данных еще далека от завершения:). Не буду анонсировать содержание всей серии, скажу лишь, что сегодня мы поговорим о разных языках программирования, поддерживающих функциональный стиль и соответствующих приемах программирования.

Языки программирования, о которых не каждый знает

Я начал программировать еще в детстве, и годам к двадцати пяти мне казалось, что я все знаю и понимаю. Объектно ориентированное программирование стало частью моего мозга, все мыслимые книги о промышленном программировании были прочитаны. Но у меня оставалось такое ощущение, будто я что-то упустил, что-то очень тонкое и необыкновенно важное. Дело в том, что, как и многих в девяностые годы, в школе меня учили программировать на Pascal (о да, слава Turbo Pascal 5.5! - Прим. ред.), потом был C и C++. В университете Fortran и потом Java, как основной инструмент на работе. Я знал Python и еще несколько языков, но все это было не то. А серьезного образования в области Computer Science у меня не было. Однажды во время перелета через Атлантику я не мог заснуть, и мне захотелось что-то почитать. Каким-то волшебным образом у меня под рукой оказалась книга про язык программирования Haskell. Мне кажется, именно тогда я понял истинный смысл выражения «красота требует жертв».

Теперь, когда меня спрашивают, как я выучил Haskell, я так и говорю: в самолете. Этот эпизод изменил мое отношение к программированию вообще. Конечно, после первого знакомства многие вещи казались мне не вполне понятными. Пришлось напрячься и изучить вопрос более тщательно. И знаешь, прошло десять лет, многие функциональные элементы стали частью промышленных языков, лямбда-функции уже есть даже в Java, вывод типов - в С++, сопоставление с образцом - в Scala. Многие думают, что это какой-то прорыв. И в этой серии статей я расскажу тебе про приемы функционального программирования, используя разные языки и их особенности.

Интернетчики часто на потеху публике составляют всякие списки и топы. Например, «список книг, которые ты должен прочесть до тех пор, пока тебе не исполнилось тридцать». Если бы передо мной стояла задача сделать список книг по программированию, которые ты должен прочесть до тех пор, пока тебе сколько-то там не исполнилось, то первое место, безусловно, досталось бы книге Абельсона и Сассмана «Структура и интерпретация компьютерных программ» . Мне даже иногда кажется, что компилятор или интерпретатор любого языка должен останавливать каждого, кто не читал эту книгу.

Поэтому если и есть язык, с которого нужно начинать изучение функционального программирования, так это Lisp. Вообще, это целое семейство языков, куда входит довольно популярный сейчас язык для JVM под названием Clojure . Но в качестве первого функционального языка он не особо подходит. Для этого лучше использовать язык Scheme , который был разработан в MIT и до середины двухтысячных годов служил основным языком для обучения программированию. Хотя сейчас вводный курс с тем же названием, что упомянутая книга, был заменен на курс по Python, она все еще не потеряла своей актуальности.

Постараюсь кратко рассказать о языке Scheme и вообще об идее, стоящей за языками данной группы. Несмотря на то что Lisp очень старый (из всех языков высокого уровня старше только Fortran), именно в нем впервые стали доступны многие методы программирования, применяемые сейчас. Далее я буду использовать название Lisp, имея в виду конкретную реализацию - Scheme.

Синтаксис за две минуты

Синтаксис в языке Lisp, хм, слегка спорный. Дело в том, что идея, лежащая в основе синтаксиса, крайне проста и построена на основе так называемых S-выражений . Это префиксная запись, в которой привычное тебе выражение 2 + 3 записывается как (+ 2 3) . Это может показаться странным, но на практике дает некоторые дополнительные возможности. Кстати, (+ 2 10 (* 3.14 2)) тоже работает:). Таким образом, вся программа - это набор списков, в которых используется префиксная нотация. В случае языка Lisp сама программа и абстрактное синтаксическое дерево - «если вы понимаете, о чем я» 😉 - по сути, ничем не отличаются. Такая запись делает синтаксический анализ программ на Lisp очень простым.
Раз уж мы говорим о языке программирования, то следует сказать о том, как определять функции в этом языке.

Тут нужно сделать небольшое отступление. Существует одна тонкость, значимость которой в современной литературе недооценена. Нужно все-таки разделять функцию в математическом смысле и функцию, как мы ее понимаем в функциональном программировании. Дело в том, что в математике функции являются декларативными объектами, а в программировании они используются для организации процесса вычислений, то есть в каком-то смысле, скорее, представляют собой императивное знание, знание, отвечающее на вопрос «как?». Именно поэтому Абельсон и Сассман в своей книге это очень тщательно разделяют и называют функции в программировании процедурами. В современной литературе по функциональному программированию это не принято. Но я все же настоятельно рекомендую разделять эти два смысла слова «функция» хотя бы у себя в голове.

Самый простой способ определить функцию - это написать следующий код. Начнем с неприлично простого:

(define (sq-roots a b c) (let ((D (- (* b b) (* 4 a c)))) (if (< D 0) (list) (let ((sqrtD (sqrt D))) (let ((x1 (/ (- (- b) sqrtD) (* 2.0 a))) (x2 (/ (+ (- b) sqrtD) (* 2.0 a)))) (list x1 x2))))))

Да, это именно то, что ты подумал, - решение квадратного уравнения на Scheme. Но этого более чем достаточно, чтобы разглядеть все особенности синтаксиса. Здесь sq-roots - это название функции от трех формальных параметров.

На первый взгляд в конструкции let , которая используется для определения локальных переменных, слишком много скобок. Но это не так, просто сначала мы определяем список переменных, а затем выражение, в котором эти переменные используются. Здесь (list) - это пустой список, который мы возвращаем, когда корней нет, а (list x1 x2) - это список из двух значений.

Теперь о выражениях. В нашей функции sq-roots мы использовали конструкцию if . Вот здесь-то и начинается функциональное программирование.

Дело в том, что в отличие от императивных языков, таких как C, в функциональных языках if - это выражение, а не оператор. На практике это означает, что у него не может отсутствовать ветка else. Потому что выражение всегда должно иметь значение.

Нельзя рассказать про синтаксис, не поговорив о синтаксическом сахаре . В языках программирования синтаксическим сахаром называют конструкции, которые не являются необходимыми, а лишь облегчают чтение и переиспользование кода. Для начала приведем классический пример из языка C. Многие знают, что массивы не обязательное средство выражения, так как есть указатели. Да, действительно, массивы реализованы через указатели, и a[i] для языка C - это то же самое, что и *(a + i) . Данный пример вообще довольно необычный, с ним связан забавный эффект: так как операция сложения остается коммутативной в случае указателей, то последнее выражение - это то же самое, что и *(i + a) , а это может быть получено при удалении синтаксического сахара из выражения i[a] ! Операция удаления синтаксического сахара в английском языке называется специальным словом desugaring .

Возвращаясь к языку Scheme, следует привести важный пример синтаксического сахара. Для определения переменных, как и в случае функций, используется ключевое слово (в Lisp и Scheme это называется специальной формой) define . К примеру, (define pi 3.14159) определяет переменную pi . Вообще говоря, точно так же можно и определять функции:

(define square (lambda (x) (* x x)))

это то же самое, что и

(define (square x) (* x x))

Последняя строчка выглядит чуть более легко читаемой по сравнению с вариантом, в котором используется лямбда-выражение. Однако понятно, что достаточно иметь первый вариант, а второй необязателен. Почему именно первый важнее? Потому что одно из самых базовых свойств функциональных языков - что функции в них являются объектами первого класса. Последнее означает, что функции можно передавать в качестве аргумента и возвращать в качестве значения.

Если посмотреть на let с точки зрения лямбда-выражения, то легко заметить следующее соответствие:

(let ((x 5) (y 2)) (* x y)) (apply (lambda (x y) (* x y)) (list 5 2))

Функциональное программирование

Функциональные языки бывают чистыми и нечистыми . Чистые функциональные языки сравнительно редки, к ним относятся в первую очередь Haskell и Clean . В чистых языках нет побочных эффектов. На практике это означает отсутствие присваивания и ввода-вывода в том виде, к которому мы привыкли. Это создает ряд трудностей, хотя в уже упомянутых языках это решено довольно хитроумно, и на этих языках пишут код с большим количеством ввода-вывода. Языки типа Lisp, OCaml или Scala допускают функции с побочными эффектами, и в этом смысле данные языки зачастую более практичны.

Наша задача - изучить основные приемы функционального программирования на Scheme. Поэтому мы будем писать чисто функциональный код, без использования генератора случайных чисел, ввода-вывода и функции set! , которая позволят менять значения переменных. Обо всем этом можно прочитать в книге SICP . Сейчас остановимся на самом существенном для нас.

Первое, что смущает начинающего в функциональном программировании, - это отсутствие циклов. А как же быть? Многих из нас учат, что рекурсия - это плохо. Аргументируется это тем, что рекурсия в обычных языках программирования обычно реализована неэффективно. Дело в том, что в общем случае следует различать рекурсию как технический прием, то есть вызов функции из самой себя, и рекурсию как процесс. В функциональных языках поддерживается оптимизация хвостовой рекурсии или, как иногда говорят, рекурсии с аккумулятором. Это можно проиллюстрировать на простом примере.

Пускай у нас есть две функции - succ и prev . Первая возвращает число, на 1 большее, чем аргумент, а вторая - на 1 меньшее. Теперь попробуем определить операцию сложения, причем двумя способами:

(define (add x y) (if (eq? y 0) x (add (succ x) (prev y)))) (define (add-1 x y) (if (eq? y 0) x (succ (add-1 x (prev y)))))

В чем разница между первым и вторым случаем? Дело в том, что если рассмотреть способ вычисления для первого случая по шагам, то можно увидеть следующее:

(add 3 4) => (add 4 3) => (add 5 2) => (add 6 1) => (add 7 0) => 7

Во втором случае мы будем иметь примерно следующее:

(add-1 3 4) => (succ (add-1 3 3)) => (succ (succ (add-1 3 2))) => (succ (succ (succ (add-1 3 1)))) => (succ (succ (succ (succ (add-1 3 0))))) => (succ (succ (succ (succ 3)))) => (succ (succ (succ 4))) => (succ (succ 5)) => (succ 6) => 7

Несмотря на то что и в том и другом случае результат одинаков, процесс вычисления кардинально отличается. В первом случае количество используемой памяти не меняется, а во втором растет линейным образом. Первый процесс является итеративным , а второй - рекурсивым . Так, для написания эффективных программ на функциональных языках нужно использовать хвостовую рекурсию для того, чтобы избежать переполнения стека.

Списки

Один из важнейших элементов функционального программирования, наряду с рекурсией, - списки . Они обеспечивают основу для сложных структур данных. Как и в других функциональных языках, списки являются односвязными по принципу голова - хвост. Для создания списка используется функция cons , а для доступа к голове и хвосту списка - функции car и cdr соответственно. Так, список (list 1 2 3) - это не что иное, как (cons 1 (cons 2 (cons 3 "()))) . Здесь "() - пустой список. Таким образом, типичная функция обработки списка выглядит так:

(define (sum lst) (if (null? lst) 0 (+ (car lst) (sum (cdr lst)))))

Эта функция просто суммирует элементы списка. Так выглядят многие функции обработки списков, в одной из следующих статей я расскажу почему. А сейчас лишь замечу, что если заменить первый аргумент в сложении на 1, то получим функцию, которая вычисляет длину списка.

Функции высших порядков

Раз уж функции можно передавать как аргументы и возвращать в качестве значения, то неплохо бы найти этому применение. Рассмотрим следующий классический пример:

(define (map f lst) (if (null? lst) lst (cons (f (car lst)) (map f (cdr lst)))))

Функция map применяет функцию f к каждому элементу списка. Как бы это странно ни выглядело, но теперь мы можем выразить функцию вычисления длины списка length через sum и map:

(define (length lst) (sum (map (lambda (x) 1) lst)))

Если ты вдруг сейчас решил, что все это как-то слишком просто, то давай подумаем вот над чем: как сделать реализацию списков, используя функции высших порядков?

То есть нужно реализовать функции cons , car и cdr так, чтобы они удовлетворяли следующему соотношению: для любого списка lst верно, что значение (cons (car lst) (cdr lst)) совпадает с lst . Это можно сделать следующим образом:

(define (cons x xs) (lambda (pick) (if (eq? pick 1) x xs))) (define (car f) (f 1)) (define (cdr f) (f 2))

Как это работает? Здесь функция cons возвращает другую функцию, которая имеет один параметр и в зависимости от этого возвращает либо первый, либо второй аргументы. Легко проверить, что необходимое соотношение выполняется для этих функций.

Использование quote и метапрограммирование

Одна приятная особенность языка Lisp делает его необыкновенно удобным для написания программ, которые занимаются преобразованием других программ. Дело в том, что программа состоит из списков, а список - это основная структура данных в языке. Существует способ просто «закавычить» текст программы, чтобы она воспринималась как список атомов.

Атомы - это просто символьные выражения, к примеру ("hello "world) , что то же самое, что и "(hello world) , или в полной форме (quote (hello world)) . Несмотря на то что в большинстве диалектов Lisp есть строки, иногда можно обходиться quote . Что более важно, с помощью такого подхода можно упростить кодогенерацию и обработку программ.

Для начала попробуем разобраться с символьными вычислениями. Обычно под этим понимают системы компьютерной алгебры, которые способны обращаться с символьными объектами, с формулами, уравнениями и прочими сложными математическими объектами (таких систем много, основными примерами служат системы Maple и Mathematica ).

Можно попробовать реализовать символьное дифференцирование. Я думаю, правила дифференцирования представляет себе каждый, кто близок к окончанию школы (хотя на самом деле все чуть сложнее - здесь мы будем вычислять частную производную, просто считая другие переменные константами, но это нисколько не усложняет суть дела).

Так что я лишь приведу пример кода, который бы показывал суть дела, детали оставлю читателю (который, как я надеюсь, тщательно изучит книгу «Структура и интерпретация компьютерных программ»).

(define (deriv exp var) (cond ((number? exp) 0) ((variable? exp) (if (same-variable? exp var) 1 0)) ((sum? exp) (make-sum (deriv (addend exp) var) (deriv (augend exp) var))) ((product? exp) (make-sum (make-product (multiplier exp) (deriv (multiplicand exp) var)) (make-product (deriv (multiplier exp) var) (multiplicand exp)))) (else (error "unknown expression type - DERIV" exp))))

Здесь функция deriv представляет собой реализацию алгоритма дифференцирования так, как его проходят в школе. Данная функция требует реализации функций number? , variable? и так далее, которые позволяют понять, какую природу имеет тот или иной элемент выражения. Также нужно реализовать дополнительные функции make-product и make-sum . Здесь используется пока неизвестная нам конструкция cond - это аналог оператора switch в таких языках программирования, как C и Java.

Перед тем как мы перейдем к реализации недостающих функций, стоит отметить, что в функциональном программировании довольно часто используется top-down подход к разработке. Это когда сначала пишутся самые общие функции, а затем небольшие функции, отвечающие за детали реализации.

(define (variable? x) (symbol? x)) (define (same-variable? v1 v2) (and (variable? v1) (variable? v2) (eq? v1 v2))) (define (make-sum a1 a2) (list "+ a1 a2)) (define (make-product m1 m2) (list "* m1 m2)) (define (sum? x) (and (pair? x) (eq? (car x) "+))) (define (addend s) (cadr s)) (define (augend s) (caddr s)) (define (product? x) (and (pair? x) (eq? (car x) "*))) (define (multiplier p) (cadr p)) (define (multiplicand p) (caddr p))

Реализация данных функций не требует специальных комментариев, за исключением, может быть, функций cadr и caddr . Это не что иное, как функции, которые возвращают второй и третий элементы списка соответственно.

Если воспользоваться интерактивным интерпретатором Scheme, то легко убедиться, что полученный код работает правильно, но без упрощения выражений:

(deriv "(+ x 3) "x) => (+ 1 0) (deriv "(* (* x y) (+ x 3)) "x) => (+ (* (* x y) (+ 1 0)) (* (+ (* x 0) (* 1 y)) (+ x 3)))

Для тривиальных случаев (например, умножение на 0) задача упрощения решается довольно легко. Этот вопрос остается читателю. Большинство примеров в этой статье взяты из книги SICP, поэтому в случае возникновения трудностей можно просто обратиться к источнику (книга находится в открытом доступе).

Как и любой диалект, Lisp имеет большие возможности в метапрограммировании, по большей части связанные с использованием макросов. К сожалению, этот вопрос требует разбора в отдельной статье.

Давай напишем функцию, которая будет удалять синтаксический сахар из определения функции так, как это обсуждалось ранее:

(define (desugar-define def) (let ((fn-args (cadr def)) (body (caddr def))) (let ((name (car fn-args)) (args (cdr fn-args))) (list "define name (list "lambda args body)))))

Эта функция прекрасно работает с правильно сформированными определениями функций:

(desugar-define "(define (succ x) (+ x 1))) => (define succ (lambda (x) (+ x 1)))

Однако это не работает для обычных определений, таких как (define x 5) .
Если мы хотим удалить синтаксический сахар в большой программе, содержащей множество различных определений, то мы должны реализовать дополнительную проверку:

(define (sugared? def) (and (eq? (car def) "define) (list? (cadr def))))

Такую проверку можно встроить прямо в функцию desugar-define , сделав так, чтобы в случае, если определение не нуждается в удалении синтаксического сахара, оно просто бы не менялось (данное тривиальное упражнение остается читателю). После чего можно обернуть всю программу в список и использовать map:

(map desugar-define prog)

Заключение

В данной статье я не ставил себе задачу рассказать про Scheme сколь-нибудь подробно. Мне прежде всего хотелось показать несколько интересных особенностей языка и привлечь читателя к изучению функционального программирования. Этот чудесный язык при всей его простоте имеет свое очарование и особенности, которые делают программирование на нем очень увлекательным. Что касается инструмента для работы со Scheme, то сильные духом могут замахнуться на MIT-Scheme , а остальные - пользуйтесь прекрасной учебной средой Dr. Racket . В одной из следующих статей я обязательно расскажу, как написать собственный интерпретатор Scheme.

Функциональное программирование

1 Введение

Программы на традиционных языках программирования, таких как Си, Паскаль, Java и т.п. состоят их последовательности модификаций значений некоторого набора переменных, который называется состоянием . Если не рассматривать операции ввода-вывода, а также не учитывать того факта, что программа может работать непрерывно (т.е. без остановок, как в случае серверных программ), можно сделать следующую абстракцию. До начала выполнения программы состояние имеет некоторое начальное значение σ0 , в котором представлены входные значения программы. После завершения программы состояние имеет новое значение σ0 , включающее в себя то, что можно рассматривать как «результат» работы программы. Во время исполнения каждая команда изменяет состояние; следовательно, состояние проходит через некоторую конечную последовательность значений:

σ = σ0 → σ1 → σ2 → · · · → σn = σ0

Состояние модифицируется с помощью команд присваивания , записываемых в виде v=E или v:=E, где v - переменная, а E - некоторое выражение. Эти команды следуют одна за другой; операторы, такие как if и while, позволяют изменить порядок выполнения этих команд в зависимости от текущего значения состояния. Такой стиль программирования называютимперативным илипроцедурным .

Функциональное программирование представляет парадигму, в корне отличную от представленной выше модели. Функциональная программа представляет собой некоторое выражение (в математическом смысле); выполнение программы означает вычисление значения этого выражения.1 С учетом приведенных выше обозначений, считая что результат работы

1 Употребление термина «вычисление» не означает, что программа может оперировать только с числами; результатом вычисления могут оказаться строки, списки и вообще, любые допустимые в языке структуры данных.

императивной программы полностью и однозначно определен ее входом, можно сказать, что финальное состояние (или любое промежуточное) представляет собой некоторую функцию (в математическом смысле) от начального состояния, т.е. σ0 = f(σ). В функционально программировании используется именно эта точка зрения: программа представляет собой выражение, соответствующее функции f. Функциональные языки программирования поддерживают построение таких выражений, предоставляю широкий выбор соответствующих языковых конструкций.

При сравнении функционального и императивного подхода к программированию можно заметить следующие свойства функциональных программ:

Функциональные программы не используют переменные в том смысле, в котором это слово употребляется в императивном программировании. В частности в функциональных программах не используется оператор присваивания.

Как следствие из предыдущего пункта, в функциональных программах нет циклов.

Выполнение последовательности команд в функциональной программе бессмысленно, поскольку одна команда не может повлиять на выполнение следующей.

Функциональные программы используют функции гораздо более замысловатыми способами. Функции можно передавать в другие функции в качестве аргументов и возвращать в качестве результата, и даже в общем случае проводить вычисления, результатом которого будет функция.

Вместо циклов функциональные программы широко используют рекурсивные функции.

На первый взгляд функциональный подход к программированию может показаться странным, непривычным и мало полезным, однако необходимо принять во внимание следующие соображения.

Прежде всего, императивный стиль в программировании не является жестко заданной необходимостью. Многие характеристики императивных языков программирования являются результатом абстрагирования от низкоуровневых деталей реализации компьютера, от машинных кодов к языкам ассемблера, а затем к языкам типа Фортрана и т.д. Однако нет причин полагать, что такие языки отражают наиболее естественный для

человека способ сообщить машине о своих намерениях. Возможно, более правилен подход, при котором языки программирования рождаются как абстрактные системы для записи алгоритмов, а затем происходит их перевод на императивный язык компьютера.

Далее, функциональный подход имеет ряд преимуществ перед императивным. Прежде всего, функциональные программы более непосредственно соответствуют математическим объектам, и следовательно, позволяют проводить строгие рассуждения. Установить значение императивной программы, т.е. той функции, вычисление которой она реализует, может оказаться довольно трудно. Напротив, значение функциональной программы может быть выведено практически непосредственно.

Например, рассмотрим следующую программу на языке Haskell:

factorial n = if n == 0 then 1 else n * factorial (n - 1)

Практически сразу видно, что эта программа соответствует следующей частичной функции:

f(n) = n! n ≥ 0

(Здесь символ означает неопределенность функции, поскольку при отрицательных значениях аргумента программа не завершается.) Однако для программы на языке Си это соответствие не очевидно:

int x = 1; while (n > 0)

x = x * n; n = n - 1;

Следует также сделать замечание относительно употребления термина «функция» в таких языках как Си, Java и т.п. В математическом смысле «функции» языка Си не являются функциями, поскольку:

Их значение может зависеть не только от аргументов;

Результатом их выполнения могут быть разнообразные побочные эффекты (например, изменение значений глобальных переменных)

Два вызова одной и той же функции с одними и теми же аргументами могут привести к различным результатам.

Вместе с тем функции в функциональных программах действительно являются функциями в том смысле, в котором это понимается в математике. Соответственно, те замечания, которые были сделаны выше, к ним не применимы. Из этого следует, что вычисление любого выражения не может иметь никаких побочных эффектов, и значит, порядок вычисления его подвыражений не оказывает влияния на результат. Таким образом, функциональные программы легко поддаются распараллеливанию, поскольку отдельные компоненты выражений могут вычисляться одновременно.

2 Основы лямбда-исчисления

Подобно тому, как теория машин Тьюринга является основой императивных языков программирования, лямбда-исчисление служит базисом и математическим «фундаментом», на котором основаны все функциональные языки программирования.

Лямбда-исчисление было изобретено в начале 30-х годов логиком А. Черчем, который надеялся использовать его в качестве формализма для обоснования математики. Вскоре были обнаружены проблемы, делающие невозможным его использование в этом качестве (сейчас есть основания полагать, что это не совсем верно) и лямбда-исчисление осталось как один из способов формализации понятия алгоритма.

В настоящее время лямбда-исчисление является основной из таких формализаций, применяемой в исследованиях связанных с языками программирования. Связано это, вероятно, со следующими факторами:

Это единственная формализация, которая, хотя и с некоторыми неудобствами, действительно может быть непосредственно использована для написания программ.

Лямбда-исчисление дает простую и естественную модель для таких важных понятий, как рекурсия и вложенные среды.

Большинство конструкций традиционных языков программирования может быть более или менее непосредственно отображено в конструкции лямбда-исчисления.

Функциональные языки являются в основном удобной формой синтаксической записи для конструкций различных вариантов лямбдаисчисления. Некоторые современные языки (Haskell, Clean) имеют

100% соответствие своей семантики с семантикой подразумеваемых конструкций лямбда-исчисления.

В математике, когда необходимо говорить о какой-либо функции, принято давать этой функции некоторое имя и впоследствии использовать его, как, например, в следующем утверждении:

Пусть f: R → R определяется следующим выражением:

	(x2 sin(1/x2 ),

Тогда f0 (x) не интегрируема на интервале .

Многие языки программирования также допускают определение функций только с присваиванием им некоторых имен. Например, в языке Си функция всегда должна иметь имя. Это кажется естественным, однако поскольку в функциональном программировании функции используются повсеместно, такой подход может привести к серьезным затруднениям. Представьте себе, что мы должны всегда оперировать с арифметическими выражениями в подобном стиле:

Пусть x = 2 и y = 4. Тогда xx = y.

Лямбда-нотация позволяет определять функции с той же легкостью, что и другие математические объекты. Лямбда-выражением будем называть конструкцию вида

где E - некоторое выражение, возможно, использующее переменную x.

Пример. λx.x2 представляет собой функцию, возводящую свой аргумент в квадрат.

Использование лямбда-нотации позволяет четко разделить случаи, когда под выражением вида f(x) мы понимаем саму функцию f и ее значение в точке x. Кроме того, лямбда-нотация позволяет формализовать практически все виды математической нотации. Если начать с констант и переменных и строить выражения только с помощью лямбда-выраже- ний и применений функции к аргументам, то можно представить очень сложные математические выражения.

Применение функции f к аргументу x мы будем обозначать как f x, т.е., в отличие от того, как это принято в математике, не будем использовать скобки2 . По причинам, которые станут ясны позднее, будем считать, что применение функции к аргументу ассоциативно влево, т.е. f x y

2 Заметим, что и в математике такие выражения, как sin x записываются без скобок.

означает (f(x))(y). В качестве сокращения для выражений вида λx.λy.E будем использовать запись λx y.E (аналогично для большего числа аргументов). Также будем считать, что «область действия» лямбда-выра- жения простирается вправо насколько возможно, т.е., например, λx.x y означает λx.(x y), а не (λx.x)y.

На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести специальное обозначение для функций нескольких аргументов. Однако существует операция каррирования 3 , позволяющая записать такие функции в обычной лямбда-нотации. Идея заключается в том, чтобы использовать выражения вида λx y.x + y. Такое выражение можно рассматривать как функцию R → (R → R), т.е. если его применить к одному аргументу, результатом будет функция, которая затем принимает другой аргумент. Таким образом:

(λx y.x + y) 1 2 = (λy.1 + y) 2 = 1 + 2.

Переменные в лямбда-выражениях могут бытьсвободными исвязанными . В выражении вида x2 + x переменная x является свободной; его значение зависит от значения переменной x и в общем случае ее нельзя

вать обозначение j, значение выражения не изменится.

Следует понимать, что в каком-либо подвыражении переменная может быть свободной (как в выражении под интегралом), однако во всем выражении она связана какой-либо операцией связывания переменной , такой как операция суммирования. Та часть выражения, которая находится «внутри» операции связывания, называетсяобластью видимости переменной.

В лямбда исчислении выражения λx.E[x] и λy.E[y] считаются эквивалентными (это называется α-эквивалентностью, и процесс преобразования между такими парами называют α-преобразованием). Разумеется, необходимо наложить условие, что y не является свободной переменной в E[x].

3 от фамилии известного логика Хаскелла Карри, в честь которого назван язык программирования Haskell

3 Лямбда-исчисление как формальная система

Лямбда-исчисление основано на формальной нотации лямбда-терма, составляемого из переменных и некоторого фиксированного набора констант с использованием операции применения функции и лямбда-абстра- гирования. Сказанное означает, что все лямбда-выражения можно разделить на четыре категории:

1. Переменные: обозначаются произвольными строками, составленными из букв и цифр.

2. Константы: также обозначаются строками; отличие от переменных будем определять из контекста.

3. Комбинации: , т.е. применения функции S к аргументу T ; и S и T могут быть произвольными лямбда-термами. Комбинация записывается как S T .

4. Абстракции произвольного лямбда-терма S по переменной x, обозначаемые как λx.S.

Таким образом, лямбда-терм определяется рекурсивно и его грамматику можно определить в виде следующей формы Бэкуса-Наура:

Exp = Var| Const| Exp Exp| λ Var . Exp

В соответствие с этой грамматикой лямбда-термы представляются в виде синтаксических деревьев, а не в виде последовательности символов. Отсюда следует, что соглашения об ассоциативности операции применения функции, эквивалентность выражений вида λx y.S и λx.λy.S, неоднозначность в именах констант и переменных проистекают только из необходимости представления лямбда-термов в удобном человеку виде, и не являются частью формальной системы.

3.1 Свободные и связанные переменные

В данном разделе мы формализуем данное ранее интуитивное представление о свободных и связанных переменных. Множество свободных

переменных F V (S) лямбда-терма S можно определить рекурсивно следующим образом:

Аналогично множество связанных переменных BV (S) определяется следующими формулами:

BV (x) =

BV (c) =

BV (S T) = BV (S) BV (T)

BV (λx.S) = BV (S) {x}

Здесь предполагается, что c - некоторая константа.

Пример. Для терма S = (λx y.x) (λx.z x) можно показать, что F V (S) = {z} и

BV (S) = {x, y}.

3.2 Подстановки

Интуитивно ясно, что применение терма λx.S как функции к аргументу T дает в результате терм S, в котором все свободные вхождения переменной x заменены на T . Как ни странно, формализовать это интуитивное представление оказывается нелегко.

Будем обозначать операцию подстановки терма S вместо переменной x в другом терме T как T . Также, как и в определение свободных и связанных переменных, правила подстановки также можно определить рекурсивно. Трудность состоит в том, что необходимо наложить дополнительные ограничения, позволяющие избегать конфликта в именах переменных.

3.3 Конверсия

Лямбда-исчисление основано на трех операциях конверсии, которые позволяют переходить от одного терма к другому, эквивалентному ему. По сложившейся традиции эти конверсии обозначают греческими буквами α, β и η. Они определяются следующим образом:

α-конверсия: λx.S −→ λy.S при условии, что y / F V (S).

Например, λu.u v −→ λw.w u.

β-конверсия: (λx.S) T −→ S.

Для нас наиболее важна β-конверсия, поскольку она соответствует вычислению значения функции от аргумента. α-конверсия является вспомогательным механизмом для того, чтобы изменять имена связанных переменных, а η-конверсия интересна в основном при рассмотрении лямбда-исчисления с точки зрения логики, а не программирования.

3.4 Равенство лямбда-термов

Используя введенные правила конверсии, можно формально определить понятие равенства лямбда-термов. Два терма равны, если от одного из них можно перейти к другому с помощью конечной последовательности конверсий. Определим понятие равенства следующими выражениями, в которых горизонтальные линии следует понимать как «если утверждение над чертой выполняется, то выполняется и утверждение

под ней»:

Следует отличать понятие равенства, определяемое этими формулами, от понятия синтаксической эквивалентности, которую мы будем обозначать специальным символом ≡. Например, λx.x 6≡λy.y, но λx.x = λy.y. Часто можно рассматривать синтаксическую эквивалентность термов с точностью до α-конверсий. Такую эквивалентность будем обозначать символом ≡α . Это отношение определяется так же, как равенство лямбда-термов, за тем исключением, что из всех конверсий допустимы только α-конверсии. Таким образом, λx.x ≡α λy.y.

3.5 Экстенсиональность

η-конверсия в лямбда-исчислении выражает собой принципэкстенсиональности . В общефилософском смысле два свойства называются экстенсионально эквивалентными, если они принадлежат в точности одним и тем же объектам. В математике, например, принят экстенсиональный взгляд на множества, т.е. два множества считаются одинаковыми, если они содержат одни и те же элементы. Аналогично мы говорим, что две функции равны, если они имеют одну и ту же область определения, и для любых значений аргумента из этой области определения вычисляют один и тот же результат.