Теперь предстоит совсем легкая прогулка, связанная с шестнадцатеричной системой счисления. В этом случае, надеемся, вы подозреваете и, видимо, справедливо, что у нас должно теперь быть 16 различных цифр.
Но, как мы знаем, традиционных ("арабских") цифр всего десять. А требуется шестнадцать. Получается, что не хватает шести знаков.
Замечание
Таким образом, возникает чисто дизайнерская задача по теме "Знаки" - придумать недостающие символы для цифр
.
Значит, в свое время специалистам необходимо было придумать какие-нибудь новые знаки. Но когда-то, в начале компьютерной эры, особого выбора в знаках не было. Программисты располагали только знаками цифр и букв. Поэтому они пошли по элементарному пути: взяли первые буквы латинского алфавита в качестве цифр, тем более что исторически это не первый случай (мы уже упоминали, что первоначально вместо цифр многие народы использовали буквы).
Замечание
Надеемся, что всем понятно, почему в этом случае нельзя использовать, например, числа "10", "11", "12" и т. д.? Потому что, если мы говорим о шестнадцатеричной системе счисления, то должно быть шестнадцать цифр
, а не чисел
.
И десятичное число "10" стали обозначать латинской буквой "А" (точнее, "цифрой А"). Соответственно, дальше идут цифры "В", "С", "D", "Е" и "Р.
Поскольку мы намеревались построить шестнадцатеричную систему, то, начиная с нуля, здесь как раз и получится 16 цифр. Например, цифра "D" - это десятичное число "13", а цифра "F" - это десятичное число "15".
Когда к шестнадцатеричному числу "F" прибавляем единицу, то, поскольку эти цифры у нас кончились, в этом разряде ставим "О", а в следующий разряд переносим единицу, поэтому получается, что десятичное число "16" будет представлено в шестнадцатеричной системе счисления числом "10", т. е. получается "шестнадцатеричная десятка". Соединим десятичные и шестнадцатеричные числа в единую таблицу (табл. 4.5).
Таблица 4.5 . Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел.
| Десятичное число | Шестнадцатеричное число | Десятичное число | Шестнадцатеричное число |
|---|---|---|---|
| 0-9 | 0-9 | 29 | 1D |
| 10 | А | 30 | 1Е |
| 11 | В | 31 | 1F |
| 12 | С | 32-41 | 20-29 |
| 13 | D | 42-47 | 2A-2F |
| 14 | Е | 48-255 | 30-FF |
| 15 | F | 256 | 100 |
| 16 | 10 | 512 | 200 |
| 17-25 | 11-19 | 1024 | 400 |
| 26 | 1А | 1280 | 500 |
| 27 | 1В | 4096 | 1000 |
| 28 | 1C |
Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, "шестнадцатеричная тысяча", состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (1000 16 = 1000000000000 2).
При обсуждении систем счисления неоднократно фигурировали "десятки", "сотни" и "тысячи", поэтому необходимо обратить внимание на так называемые "круглые" числа.
Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.
При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную
Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле
Примеры.
АЕ07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .
100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .
58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .
2А 16 =2∙16 1 +10∙16 0 =42 10 .
Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно
Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом - тетрадой . После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.
|
2) 2A= 0010 1010 2 = 101010 2 . |
3) 58 16 = 0101 1000 2 = 1011000 2 . |
И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.
Примеры.
2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.
3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.
Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно
Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом - триадой .
Примеры.
2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .
1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .
Методические материалы для лабораторного занятия №1
Тема лабораторного занятия: Системы счисления. Измерение информации.
Количество часов: 2.
Примеры с решениями
Перевод из p -ичной системы в 10-ичную. Пусть надо перевести число в некоторой системе счисления в десятичную. Для этого надо представить его в виде
11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .
2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.
Перевод из 10-ичной системы в p -ичную.
2.1 98 10 → Х 2 .
Делим число на 2. Затем делим неполное частное на 2. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 2, т.е. равным 1.
98: 2 = 49. Остаток - 0 .
49: 2 = 24. Остаток - 1 .
24: 2 = 12. Остаток - 0 .
12: 2 = 6. Остаток - 0 .
6: 2 = 3. Остаток - 0 .
3: 2 = 1 . Остаток - 1 .
Так как последнее неполное частное равно 1, процесс окончен. Записываем все остатки снизу вверх, начиная с последнего неполного частного, и получаем число 1100010. Итак 98 10 = 1100010 2 .
2.2 2391 10 → Х 16 .
Делим число на 16. Затем делим неполное частное на 16. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 16.
2391: 16 = 149. Остаток - 7 .
149: 16 = 9 . Остаток - 5 .
Так как последнее неполное частное (9) меньше 16, процесс окончен. Записываем, начиная с последнего неполного частного, все остатки снизу вверх и получаем число 957. Итак 2391 10 = 957 16 .
2.3 12165 10 → Х 2 .
Если переводить делением в двоичную систему, то получится довольный громоздкий процесс. Можно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем заменять восьмеричные цифры справа налево триадами.
12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.
Определение основания системы счисления p .
Один мальчик так написал о себе: «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое может быть?
Решение. Надо определить основание системы счисления p . Так как мы знаем, что пальцев на ногах всего 10 10 , то 12 p =1∙p +2 = 10 10 . Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10 p = 8. Значит, мальчик имел в виду числа в восьмеричной системе. Действительно, всего пальцев 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 , а на ногах - 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 .
| Десятичная система | 16-ричная система | Десятичная система | 16-ричная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (0000) | 10 | A (1010) |
| 1 | 1(0001) | 11 | B (1011) |
| 2 | 2 (0010) | 12 | C (1100) |
| 3 | 3 (0011) | 13 | D (1101) |
| 4 | 4 (0100) | 14 | E (1110) |
| 5 | 5 (0101) | 15 | F (1111) |
| 6 | 6 (0110) | 16 | 10 (00010000) |
| 7 | 7 (0111) | 17 | 11 (00010001) |
| 8 | 8 (1000) | 18 | 12 (00010010) |
| 9 | 9 (1001) | 19 | 13 (00010011) |
Для перевода 16-ричного числа в десятичное необходимо умножить значение младшего (нулевого) разряда на единицу, значение следующего (первого) разряда на 16, второго разряда на 256 (16 2) и т.д., а затем сложить все произведения. Например, возьмем число A17F :
A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343
| Десятичная система | 8-ричная система | Десятичная система | 8-ричная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (000) | 10 | 12 (001010) |
| 1 | 1(001) | 11 | 13 (001011) |
| 2 | 2 (010) | 12 | 14 (001100) |
| 3 | 3 (011) | 13 | 15 (001101) |
| 4 | 4 (100) | 14 | 16 (001110) |
| 5 | 5 (101) | 15 | 17 (001111) |
| 6 | 6 (110) | 16 | 20 (010000) |
| 7 | 7 (111) | 17 | 21 (010001) |
| 8 | 10 (001000) | 18 | 22 (010010) |
| 9 | 11 (001001) | 19 | 23 (010011) |
Но каждому специалисту по цифровой аппаратуре (разработчику, оператору, ремонтнику, программисту и т.д.) необходимо научиться так же свободно обращаться с 16-ричной и двоичной системами, как и с обычной десятичной, чтобы никаких переводов из системы в систему не требовалось.
Значительно реже, чем 16-ричное, используется восьмеричное кодирование , которое строится по такому же принципу, что и 16-ричное, но двоичные разряды разбиваются на группы по три разряда. Каждая группа (разряд кода) затем обозначается одним символом. Каждый разряд 8-ричного кода может принимать восемь значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (табл. 2.5) .
Помимо рассмотренных кодов, существует также и так называемое двоично-десятичное представление чисел. Как и в 16-ричном коде, в двоично-десятичном коде каждому разряду кода соответствует четыре двоичных разряда, однако каждая группа из четырех двоичных разрядов может принимать не шестнадцать, а только десять значений, кодируемых символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть одному десятичному разряду соответствует четыре двоичных. В результате получается, что написание чисел в двоично-десятичном коде ничем не отличается от написания в обычном десятичном коде (табл. 2.6) , но в реальности это всего лишь специальный двоичный код, каждый разряд которого может принимать только два значения: 0 и 1. Двоично-десятичный код иногда очень удобен для организации десятичных цифровых индикаторов и табло.
| Десятичная система | Двоично-десятичная система | Десятичная система | Двоично-десятичная система |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 (0000) | 10 | 10 (00010000) |
| 1 | 1(0001) | 11 | 11 (00010001) |
| 2 | 2 (0010) | 12 | 12 (00010010) |
| 3 | 3 (0011) | 13 | 13 (00010011) |
| 4 | 4 (0100) | 14 | 14 (00010100) |
| 5 | 5 (0101) | 15 | 15 (00010101) |
| 6 | 6 (0110) | 16 | 16 (00010110) |
| 7 | 7 (0111) | 17 | 17 (00010111) |
| 8 | 8 (1000) | 18 | 18 (00011000) |
| 9 | 9 (1001) | 19 | 19 (00011001) |
В двоичном коде над числами можно проделывать любые арифметические операции : сложение , вычитание , умножение , деление .
Рассмотрим, например, сложение двух 4-разрядных двоичных чисел. Пусть надо сложить число 0111 (десятичное 7) и 1011 (десятичное 11). Сложение этих чисел не сложнее, чем в десятичном представлении:
При сложении 0 и 0 получаем 0, при сложении 1 и 0 получаем 1, при сложении 1 и 1 получаем 0 и перенос в следующий разряд 1. Результат - 10010 (десятичное 18). При сложении любых двух n-разрядных двоичных чисел может получиться n-разрядное или (n+1) -разрядное число.
Точно так же производится вычитание . Пусть из числа 10010 (18) надо вычесть число 0111 (7). Записываем числа с выравниванием по младшему разряду и вычитаем точно так же, как в случае десятичной системы:
При вычитании 0 из 0 получаем 0, при вычитании 0 из 1 получаем 1, при вычитании 1 из 1 получаем 0, при вычитании 1 из 0 получаем 1 и заем 1 в следующем разряде. Результат - 1011 (десятичное 11).
При вычитании возможно получение отрицательных чисел, поэтому необходимо использовать двоичное представление отрицательных чисел.
Для одновременного представления как двоичных положительных, так и двоичных отрицательных чисел чаще всего используется так называемый дополнительный код . Отрицательные числа в этом коде выражаются таким числом, которое, будучи сложено с положительным числом такой же величины, даст в результате нуль. Для того чтобы получить отрицательное число, надо поменять все биты такого же положительного числа на противоположные (0 на 1, 1 на 0) и прибавить к результату 1. Например, запишем число –5. Число 5 в двоичном коде выглядит 0101. Заменяем биты на противоположные: 1010 и прибавляем единицу: 1011. Суммируем результат с исходным числом: 1011 + 0101 = 0000 (перенос в пятый разряд игнорируем).
по модулю 2 два двоичных числа 0111 и 1011:
Среди других побитовых операций над двоичными числами можно отметить функцию И и функцию ИЛИ. Функция И дает в результате единицу только тогда, когда в соответствующих битах двух исходных чисел обе единицы, в противном случае результат -0. Функция ИЛИ дает в результате единицу тогда, когда хотя бы один из соответствующих битов исходных чисел равен 1, в противном случае результат 0.
Шестнадцатеричная система счисления , на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.
Как следует из названия, основанием данной системы является число шестнадцать 16 или в шестнадцатеричной системе 10 16 . Чтобы не было путаницы, при записи чисел в системах счисления отличных от десятичных, справа внизу от основной записи числа будем указывать основание системы счисления. Раз основанием системы является число шестнадцать, значит, для изображения чисел нам потребуется шестнадцать цифр. Первые десять цифр берутся из, привычной нам, десятичной системы (0,1,..,8,9) и еще добавляются шесть букв латинского алфавита (a,b,c,d,e,f) . Например в шестнадцатеричном числе 3f7c2 буквы "f" и "c" являются шестнадцатеричными цифрами.
Счет в шестнадцатеричной системе происходит аналогично счету в десятичной. Давайте попробуем считать и записывать числа конструируя их из имеющихся шестнадцати цифр:
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
Два
- 2
;
...
и так далее…
...
Восемь
- 8
;
Девять
- 9
;
Десять
- a
;
Одиннадцать
- b
;
Двенадцать
- c
;
Тринадцать
- d
;
Четырнадцать
- e
;
Пятнадцать
- f
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число Шестнадцать? Поступим аналогично тому как мы поступали в десятичной системе. Там мы вводили понятие десятка, здесь же введем понятие "шестнадцать" и скажем, что шестнадцать - это одина "шестнадцать" и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10 16 ".
Итак, Шестнадцать
- 10
16 (одна "шестнадцать", ноль единиц)
Семнадцать
- 11
16 (одна "шестнадцать", одна единица)
...
и так далее…
...
Двадцать пять
- 19
16 (одна "шестнадцать", девять единиц)
Двадцать шесть
- 1a
16 (одна "шестнадцать", десять единиц)
Двадцать семь
- 1b
16 (одна "шестнадцать", одинадцать единиц)
...
и так далее…
...
Тридцать
- 1e
16 (одна "шестнадцать", четырнадцать единиц)
Тридцать один
- 1f
16 (одна "шестнадцать", пятнадцать единиц)
Тридцать два
- 20
16 (две "шестнадцать", ноль единиц)
Тридцать три
- 21
16 (две "шестнадцать", одна единица)
...
и так далее…
...
Двести пятьдесят пять
- ff
16 (пятнадцать по "шестнадцать", пятнадцать единиц)
Двести пятьдесят шесть
- 100
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", ноль единиц)
Двести пятьдесят семь
- 101
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", одна единица)
Двести пятьдесят восемь
- 102
16 (одна "Двести пятьдесят шесть", ноль по "шестнадцать", две единицы)
...
и так далее...
...
Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем по "шестнадцать", по "Двести пятьдесят шесть" и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 3e2c 16 записанное в шестнадцатиричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: три по четыре тысячи девяносто шесть, "e" (четырнадцать) по двести пятьдесят шесть, два по шестнадцать и "c" (двенадцать) единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 4096, 256, 16, 1 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0
Подобным образом для шестнадцатиричной дроби (дробного числа) например: 0.5a2 16 про него можно сказать, что оно содержит: пять шестнадцатых, "a" (десять) двести пятьдесят шестых и две четыретысячи девяносто шестых долей. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)
И здесь ряд чисел 1/16; 1/256 и 1/4096 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать и мы также можем записать:
0.5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3
Для смешанного числа 7b2.1f9 аналогичным образом можем записать:
7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3
Пронумеруем разряды целой части некоторого шестнадцатиричного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение некоторого шестнадцатиричного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 16 n +d n-1 16 n-1 +…+d 1 16 1 +d 0 16 0 +d -1 16 -1 +d -2 16 -2 +…+d -(m-1) 16 -(m-1) +d -m 16 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения шестнадцатиричного числа, т.е. числа записанного в шестнадцатиричной системе счисления. Если мы в этой формуле заменим число шестнадцать на некоторое произвольное число q , то получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления, т.е. с основанием q :
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
По этой формуле всегда можно вычислить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления с основанием q .
С другими системами счисления можно познакомиться на нашем сайте по следующим ссылкам.
Всем, кто общается с компьютером или другой цифровой техникой, приходилось встречать загадочные записи типа 10FEF, которые кажутся непосвященным каким-то шифром. Что скрывается за этими символами? Оказывается, это просто цифры. Те, которые использует шестнадцатиричная
Системы счисления
Каждый школьник знает или хотя бы где-то слышал, что все цифры, которые мы обычно используем, образуют Это название она носит просто потому, что различных символов в ней всего десять (от 0 до 9). Любое число в нашей привычной системе может быть записано с их помощью. Однако, оказывается, использовать ее удобно бывает далеко не всегда. Например, при обмене информацией между цифровыми устройствами проще всего применять систему счисления, в которой есть только две цифры: «0» - нет сигнала - или «1» - есть сигнал (напряжение или что-то еще). Она называется двоичной. Однако, чтобы описать процессы внутри таких устройств с ее помощью, придется выполнять слишком длинные и трудные для понимания записи. Поэтому была придумана шестнадцатиричная система счисления.
Понятие шестнадцатеричной системы
Почему же для цифровых устройств используется именно система, которая содержит шестнадцать разных символов? Как известно, информация в компьютерах передается в виде байтов, которые обычно содержат 8 бит. А единица данных - машинное слово - включает в себя 2 байта, то есть 16 бит. Таким образом, с помощью шестнадцати разных символов можно описать ту информацию, которая является мельчайшей частицей при обмене. Шестнадцатиричная система счисления включает наши привычные цифры (естественно, от 0 до 9), а также первые буковки (A, B, C, D, E, F). Именно с помощью этих символов принято записывать любую единицу информации. С ними можно производить любые арифметические действия. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Результатом также будет шестнадцатеричное число.
Где применяется
Шестнадцатиричная система используется для записи кодов ошибок. Они могут возникать при работе различных программных продуктов. Например, так кодируются ошибки операционной системы. Каждое число при этом стандартное. Можно выяснить, какая именно ошибка произошла в процессе работы, расшифровав его с помощью инструкции. Также применяются такие символы при написании программ на языках низкого уровня, например ассемблере. Шестнадцатиричная система счисления любима программистами еще и потому, что ее составляющие очень легко могут быть переведены в двоичные, которые являются «родными» для всей цифровой техники. С помощью таких символов описывают также цветовые схемы. Кроме того, абсолютно все файлы в компьютере (и текстовые, и графические, и даже музыкальные или видео) представляются после трансляции в виде последовательности Просматривать исходный удобнее всего как раз в виде шестнадцатеричных символов.
Конечно, любое число можно записать в различных системах счисления. Это и десятичная, и двоичная, и шестнадцатеричная. Чтобы перевести слово из одной из них в другую, следует воспользоваться таким сервисом, как переводчик систем счисления, или сделать это самостоятельно с помощью определенного алгоритма.