1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Матрицы, познакомьтесь с ее основными понятиями. Определяющими элементами матрицы являются ее диагонали - и побочная. Главная начинается с элемента в первом ряду, первом столбце и продолжается до элемента последнего столбца, последнего ряда (то есть идет слева направо). Побочная же диагональ начинается наоборот в первом ряду, но последнем столбце и продолжается до элемента, имеющего координаты первого столбца и последнего ряда (идет справа налево).
Для того чтобы перейти к следующим определениям и алгебраическим операциям с матрицами, изучите виды матриц. Самые простые из них - это квадратная, единичная, нулевая и обратная. В совпадает число столбцов и строк. Транспонированная матрица, назовем ее В, получается из матрицы А, путем замены столбцов на строки. В единичной все элементы главной диагонали - единицы, а другие - нули. А в нулевой даже элементы диагоналей нулевые. Обратная матрица - это та, на которую исходная матрица приходит к единичному виду.
Также матрица может быть симметрична относительно главной или побочной осей. То есть элемент, имеющий координаты а(1;2), где 1 - это номер строки, а 2 - столбца, равен а(2;1). А(3;1)=А(1;3) и так далее. Матрицы согласованными - это те, где количество столбцов одной равно количеству строк другой (такие матрицы можно перемножать).
Главные действия, которые можно совершить с матрицами - это сложение, умножение и нахождение определителя. Если матрицы одинакового размера, то есть имеют равное количество строк и столбцов, то их можно сложить. Складывать необходимо элементы, стоящие на одинаковых местах в матрицах, то есть а (m;n) сложите с в (m;n), где m и n - это соответствующие координаты столбца и строки. При сложении матриц действует главное правило обычного арифметического сложения - при перемене мест слагаемых сумма не меняется. Таким образом, если вместо простого элемента а стоит выражение а+в, то его можно сложить в элементом с другой соразмерной матрицы по правилам а+(в+с)= (а+в)+с.
Умножать можно согласованные матрицы, которым дано выше. При этом получается матрица, где каждый элемент - это сумма попарно перемноженных элементов строки матрицы А и столбца матрицы В. При перемножении очень важен порядок действий. m*n не равно n*m.
Также одно из главных действий - это нахождение . Еще его называют детерминантом и обозначают так: det. Эта величина определяется по модулю, то есть никогда не бывает отрицательной. Легче всего найти детерминант у квадратной матрицы 2х2. Для этого необходимо перемножить элементы главной диагонали и вычесть из них перемноженные элементы побочной диагонали.
Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .
Общий вид матрицы:
Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:
- Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
- Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Основные виды матриц:
- Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
- Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
- Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
- Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
- Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.
Методы решения матриц.
Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.
Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:
Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:
При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":
Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.
Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.
Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы :
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Решение систем матриц.
Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.
Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.
Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.
Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1
. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
A -1 = 1 / 10 |
|
A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .