При энергетическом подходе длительность сигнала или ширину его спектра определяют по заданной доле от полной энергии сигнала. Так, например, для сигнала в виде прямоугольного импульса длительностьюt спектральная плотность имеет бесконечно широкий спектр, однако анализ показывает, что первый лепесток спектрасодержит 90% от полной энергии импульса, а сумма первого и второгоуже 95%. Аналогично можно рассуждать и о длительности бесконечно длящегося сигнала с конечной энергией.
При информационном подходе важное значение имеет форма сигнала: чем шире взята за основу условная ширина его спектра, тем ближе по форме к исходному может быть воспроизведенный по ограниченному спектру сигнал. Иногда ширину спектра определяют по уровнюот максимального значения. Для колоколообразных импульсов принята величина е -1/2 =0,606 от максимума. Ширина спектра и длительность сигнала взаимосвязаны. Для выявления этой связи определяют так называемыеэффективные длительность и ширину спектра, которые вычисляют с помощью следующих соотношений:
гдесередина импульса;
Полная длительность сигнала равна 2, а полная ширина спектра, включая и отрицательные частоты, 2, Произведение длительности на полосу равно:
Произведение*зависит от формы сигнала, но не может быть меньше 0.5(только для импульсов гауссовой формы это произведение равно 0.5). Не для всех сигналов данные интегралы имеют смысл(сходятся). Для определенияинеобходимо, чтобы функцияs(t) убывала бы быстрее, чем1/t , а функцияS(w ) быстрее, чем1/ w .
Для сигналов, не удовлетворяющих этим условиям, и применяют энергетический, либо информационный критерий, но следует помнить, что с уменьшением длительности сигнала ширина его спектра увеличивается, т.е. произведение длительности на ширину спектра для данного типа сигнала величина постоянная
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.
В работе было отмечено, что с увеличением числа нулей происходит смещение спектра комплексной огибающей ФМ сигнала в область более высоких частот. Имеется в виду смещение той части спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, поскольку принципиально спектр ФМ сигнала тождественно не равен нулю (за исключением множества точек с мерой нуль) на всей оси частот, Для определения
смещения спектра можно использовать понятие эффективной ширины спектра например, ), которая определяется соотношением
В случае ФМ сигналов интеграл в числителе расходится и определение (11.8) не имеет смысла. Но учитывая, что основная часть энергии ФМ сигнала сосредоточена между первыми нулями то бесконечные пределы интеграла в числителе можно заменить Переходя к переменной и учитывая, четная функция, а интеграл в знаменателе (11.8) равен определим эффективную ширину спектра комплексной огибающей ФМ сигнала с блоками следующим образом:
Подставляя (11.6) в (11.9), получаем
т. е. при таком определении пропорциональна интегралу от периодической функции (11.7) за период После интегрирования находим
Следовательно, чем больше блоков имеет ФМ сигнал, тем больше . В табл. 11.1 приведены значения для нескольких ФМ сигналов, существенно отличающихся друг от друга по своей структуре.
В первой строке табл. 11.1 приведены данные для прямоугольного импульса длительностью имеющего всего один блок Чем больше тем меньше Этот пример соответствует ФМ сигналу, имеющему наименьшее число блоков. Во
Таблица 11.1 (см. скан)
второй строке табл. 11.1 приведены данные для ФМ сигнала, имеющего наибольшее число блоков Этот ФМ сигнал (меандр) представляет последовательность знакопеременных импульсов. Для меандра что является максимальным значением . В третьей строке приведены данные для оптимального ФМ сигнала, у которого Для такого сигнала в два раза меньше максимального. Таким образом, эффективная ширина спектра оптимальных ФМ сигналов лежит примерно на середине между значениями, соответствующими двум крайним значениям для прямоугольного импульса и меандра. В последней строке приведено значения эффективной ширины спектра идеального (гипотетического) сигнала, состоящего из импульсов, энергетический спектр которого совпадает с энергетическим спектром одиночного импульса длительностью
Спектр одиночного импульса имеет следующий вид:
Рис. 10.16. Спектр одиночного импульса
Из спектра одиночного импульса ясно, что чем меньше , тем шире спектр. При ® 0 – спектр равномерный; а при = – имеем на спектре одну постоянную составляющую.
Эта связь вытекает непосредственно из общего свойства преобразования Фурье.
Пусть ƒ(t ) соответствует спектр F (ω).
Изменим масштаб функции ƒ(t ) по оси времени в a раз и рассмотрим спектр функции a ƒ(at ):
заменим переменные at = z ; adt = dz ; t = z /a , то есть длительность функции ƒ(t ) уменьшится в a раз, во столько же раз возрастет ширина ее спектра.
Вопрос о соотношении между длительностью импульса и шириной его спектра имеет громадное практическое значение. В вычислительной технике необходимы короткие и мощные импульсы и в тоже время требуется, чтобы спектр импульса был как можно уже, так как широкие спектры вызывают трудности при создании аппаратуры.
Эти требования противоречивы.
Возникает вопрос: нельзя ли найти такие сигналы, которые обладали бы ограниченным спектром и одновременно ограниченной длительностью? Формализм преобразования Фурье этого не позволяет, однако для реальных сигналов могут быть введены разумные ограничения, которые позволяют ограничить либо Δt , либо Δƒ, либо и то и другое.
Наиболее удобным в этом смысле, как мы уже говорили ранее, является энергетический критерий. При этом можно представить себе следующие модели сигналов:
1. Сигналы ограничены во времени . Спектр – неограничен теоретически; физически он всегда ограничен и учитывается только та часть спектра, где сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.
2. Сигналы имеют ограниченный спектр , то есть математически это периодические, неограниченные во времени сигналы. Фактически, реальный процесс всегда ограничен во времени, поэтому учитывается только интервал времени, в котором сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала.
где t 0 – часто задается естественно: для симметричного импульса t 0 = 0; для одиночного так же t 0 = 0 и формула имеет вид:
.
3. Сигналы, у которых и длительность (Δt ) и ширина спектра (Δƒ) ограничены как интервалы, в которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Математический аппарат преобразования Фурье дает в этом случае приближенные разультаты.
При ограничениях по Δt и Δƒ можно поставить следующую задачу – отыскать такую форму сигнала, для которой произведение Δt · Δƒ достигает min.
Такому условию соответствует импульс, имеющий колоколообразную форму, которая описывается кривой Гаусса (кривой нормального распределения).
Рис. 10.17. Кривая Гаусса
Произведение Δt · Δƒ может быть уменьшено только до определенного предела:
Δt · Δƒ ≈ const > 0,
где const зависит от выбора определения Δƒ и Δt .
Приведем значения Δt · Δƒ для различных видов сигналов в предположении, что
,
где η = 0.9.
Δt · Δƒ – max для импульсов с разрывом (экспонента, прямоугольник); меньше для импульсов с разрывом в первой производной (треугольник и косинусоидальный) и наименьшее значение у колоколообразного импульса, у которого функция непрерывна со всеми своими производными. http://сайт/
Наиболее плодотворной и близкой к реальной действительности является модель с ограниченным спектром.
Этому способствует тот факт, что спектр мощности реального сигнала достаточно быстро спадает вне интервала частот, на который приходится основная часть мощности.
В инженерной практике принимают (в первом приближении независимо от формы сигнала):
Δt · Δƒ ≈ 1.
Практически, независимо от формы сигнала содержится > 90% энергии.
1. Если T имп = 3млсек, то какая требуется полоса частот, чтобы пропустить основную долю энергии?
.
2. Какова длительность телевизионных импульсов, если F TV max = 6мггц?
При практических расчетах длительности сигнала и ширины его спектрав ряде случаев удобно пользоваться энергетическим критерием. Активную длительность импульсаи активную ширину спектра (или ) определяют как интервал времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосредоточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (например, 95%). Если сигнал s (t ) задан на интервале времени , то его активная длительность рассчитывается из условия
В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточенная в интервале времени 0 – (рис. 4.33,а). В правой части равенства – доля (определяемая заданным коэффициентом полной энергии сигнала.
Исходя из равенства Парсеваля, аналогично рассчитывается активная ширина спектра сигнала
Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует полосе частот, в пределах которой заключена доля полной энергии сигнала (рис. 4.33, б).
В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного, треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в области низких частот, можно считать с достаточной для практики точностью, что
где, - постоянная величина, зависящая от формы импульса и критерия оценки величини .
Рис.4.33. Сигнал (а) и его спектр (б)
Как видно из (4.61), уменьшение длительности импульса неизбежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот. Пользуясь соотношением (4.61), можно рассчитать полосу частот, занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности.
Рис 4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б)
Для перечисленных
выше типов видеоимпульсов значение
близко к единице. В частности, если
оценивать активную ширину спектра
прямоугольного импульса длительностью(рис. 4.34, а) как полосу частотf
= 0 и тем значением частоты, когда
спектральная плотность первый раз
обращается в нуль (рис. 4.34, б), т. е. когда
аргумент спектральной плотности (4.42)
принимает
значение
,то = 1.
Следовательно, для прямоугольного
импульса
=
1.
Пользуясь соотношением (4.60), можно показать, что в полосе (0, ) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной энергии сигнала.
Вопросы и задания для самопроверки:
Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал?
Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала?
Какие формулы ряда Фурье используют для описания периодических сигналов?
Записать ряд Фурье (4.4) в тригонометрической и комплексных формах, ограничившись третьей гармоникой.
Что такое спектр амплитуд?
Периодический сигнал задан рядом Фурье в форме
Представить этот ряд в тригонометрической форме (4.10).
Литература: [Л.1], с 50-51
[Л.2], с 65-66
[Л.3], с 24-25
Для решения практических задач радиотехники крайне важно знать значения длительности и ширины спектра сигнала, а также соотношение между ними. Знание длительности сигнала позволяет решать задачи эффективного использования времени, предоставляемого для передачи сообщений, а знание ширины спектра – эффективного использования диапазона радиочастот.
Решение указанных задач требует строгого определения понятий «эффективная длительность» и «эффективная ширина спектра». На практике существует большое число подходов к определению длительности. В том случае, когда сигнал ограничен во времени (финишный сигнал), как это имеет место, например, для прямоугольного импульса, определение длительности не встречает затруднений. Иначе обстоит дело, когда теоретически сигнал имеет бесконечную длительность, например, экспоненциальный импульс
В этом случае в качестве эффективной длительности может быть принят интервал времени , в течение которого значение сигнала . При другом способе в качестве выбирают интервал времени, в течение которого . То же самое можно сказать и в отношении определения эффективной ширины спектра .
Хотя в дальнейшем, некоторые из этих способов будут использоваться при анализе радиотехнических сигналов и цепей, следует отметить, что выбор способа существенно зависит от формы сигнала и структуры спектра. Так для экспоненциального импульса более предпочтителен первый из указанных способов, а для сигнала колоколообразной формы – второй способ.
Более универсальным является подход, использующий энергетические критерии. При таком подходе в качестве эффективной длительности и эффективной ширины спектра рассматриваются соответственно интервал времени и диапазон частот, в пределах которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала
, (2.52)
, (2.53)
где – коэффициент, показывающий, какая часть энергии сосредоточена в интервалах или . Обычно величину выбирают в пределах 
.
Применим критерии (2.52) и (2.53) для определения длительности и ширины спектра прямоугольного и экспоненциального импульсов. Для прямоугольного импульса вся энергия сосредоточена в интервале времени или , поэтому его длительность . Что касается эффективной ширины спектра, то установлено, что более 90% энергии импульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектра. Если рассматривать односторонний (физический) спектр импульса, то ширина первого лепестка спектра составляет в круговых частотах или в циклических частотах. Отсюда следует, что эффективная ширина спектра прямоугольного импульса равна
Перейдем к определению и экспоненциального импульса. Полная энергия импульса составляет
.
Воспользовавшись (2.52), получим
.
Вычислив интеграл в левой части уравнения и решив его, можно прийти к следующему результату
.
Спектр экспоненциального импульса найдем, воспользовавшись преобразованием Фурье
,
откуда следует
.
Подставляя это выражение в (2.53) и решая уравнение, получим
.
Найдем произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра. Для прямоугольного импульса это произведение составляет
,
или для циклических частот
.
Для экспоненциального импульса
Таким образом, произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра одиночного сигнала есть постоянная величина, зависящая только от формы сигнала и величины коэффициента . Это означает, что при уменьшении длительности сигнала его спектр расширяется и наоборот. Этот факт уже отмечался пи рассмотрении свойства (2.46) преобразования Фурье. На практике это означает, что невозможно сформировать короткий сигнал, обладающий узким спектром, что является проявлением физического принципа неопределенности .