Отображения пуанкаре. Отображение пуанкаре График пуанкаре

График Пуанкаре представляет собой точечную диаграмму: на оси абсцисс отложены значения текущего интервала RR, а на оси ординат – следующего по времени значения RR. Форма графика Пуанкаре категоризирована в несколько функциональных классов (рис. 8).

Рис. 8. Примеры графиков Пуанкаре (на картах представлены точки с координатами R i R i +1 и R i +1 R i +2 интервалов), используемые для оценки качеств последовательности RR- интервалов: графики (a)-(d) - тщательно отредактированная последовательность RR- интервалов (ритм синусовый); (e)-(j) - записи больных сердечно-сосудистыми заболеваниями (Stein P.K. и соавт., 2008)

В графике Пуанкаре содержится как обобщающая информация о вариабельности сердечного ритма, так и детальная информация об его изменении от систолы к систоле. График Пуанкаре снизу вверх пересекает линия идентичности. Положение точки на линии идентичности означает, что ритм сердца (продолжительность интервалов RR) не изменялась в течение 2-х сокращений (рис.9).

Рис 9. Метод вычисления показателей ВСР на основе графика Пуанкаре. Относительно центроиды (среднее значение интервала RR) строится эллипс, ширина которого обозначается как SD1 (стандартное отклонение перпендикулярно центральной оси), а длина – SD2 (стандартное отклонение вдоль центральной оси) (Stein P.K. и соавторы, 2008)

Таким образом, линия идентичности представляет собой график функции x=y (RRn = RRn+1). Если точка расположена выше линии идентичности, то это означает, что x

Для диагностики функционального состояния используются интегральные показатели, вычисляемые на основе мер вариабельности сердечного ритма. Одним из таких индикаторов общего состояния организма является показатель активности регуляторных систем. Данный показатель вычисляется в баллах на основе статистических показателей, показателей гистограммы и данных спектрального анализа.

Вычисление ПАРС проводится согласно алгоритму, базирующемуся на пяти критериях:

1. Суммарный эффект регуляции по показателям частоты пульса (ЧП).

2. Суммарная активность регуляторных механизмов по среднему квадратическому отклонению (или по общей спектральной мощности).

3. Вегетативный баланс по комплексу показателей:SI, RMSSD, HF, IC.

4. Активность вазомоторного центра, регулирующего сосудистый тонус (оценивается по мощности медленных волн первого порядка – LF).

5. Активность сердечно-сосудистого подкоркового нервного центра, или надсегментарных уровней регуляции. Эти структуры осуществляют регуляцию сосудистого тонуса, а их активность можно оценить по уровню VLF.

Полученные в результата значения ПАРС выражаются в баллах и колеблются в диапазоне от 1 до 10. На основании этих баллов могут быть диагностированы следующие функциональные состояния:

На основании анализа значений ПАРС могут быть диагностированы следующие функциональные состояния:

Состояние оптимального напряжения регуляторных систем, необходимое для поддержания активного равновесия организма со средой (норма, ПАРС = 1-2).

Состояние умеренного напряжения регуляторных систем, когда для адаптации к условиям окружающей среды организму требуются дополнительные функциональные резервы. Такие состояния возникают в процессе адаптации к трудовой деятельности, при эмоциональном стрессе или при воздействии неблагоприятных экологических факторов (ПАРС = 3-4).

Состояние выраженного напряжения регуляторных систем, которое связано с активной мобилизацией защитных механизмов, в том числе повышением активности симпатико-адреналовой системы и системы гипофиз-надпочечники (ПАРС = 4-6).

Состояние перенапряжения регуляторных систем, для которого характерна недостаточность защитно-приспособительных механизмов, их неспособность обеспечить адекватную реакцию организма на воздействие факторов окружающей среды. Здесь избыточная активация регуляторных систем уже не подкрепляется соответствующими функциональными резервами (ПАРС = 6-8).

Состояние истощения (астенизации) регуляторных систем, при котором активность управляющих механизмов снижается (недостаточность механизмов регуляции) и появляются характерные признаки патологии. Здесь специфические изменения отчетливо преобладают над неспецифическими (ПАРС = 8-10).

Рис. 10. Ритмограммы, записанные у одного человека в состоянии покоя (левая половина) и при стрессе (правая половина). А- последовательность интервалов RR в спокойный период, В - последовательность интервалов RR при; C и D – соответствующие скатерограммы; E, F, G, I – гистограммы, характеризующие распределение точек на графике Пуанкаре

Существует множество методов исследования нелинейных систем. В данной задаче для исследования применялся один из самых эффективных и информативных методов - отображение Пуанкаре на фазовой плоскости. С помощью отображения Пуанкаре можно отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например: периодические, квазипериодические, хаотические и т.д.

Одним из видов математических моделей динамики является разностное уравнение, иначе называемое отображением. Дадим также другое, более точное, определение понятия отображения при математическом исследовании динамических систем.

Отображением называют временную выборку данных {x(t),x(),…x()},для которой вводят обозначение = x(). В простом детерминированном отображении величину x(n+1) можно найти по значению

:
=f(). (4)

Мы будем рассматривать отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями, тогда если x()и (),то последовательность точек фазового пространства будет представлять собой двумерное отображение:

= f(,)

= g(, ) (5)

Если моменты выборки подчиняются правилу:

= n*T+ (6)

Где Т - период вынуждающего движения, то это отображение называется отображением Пуанкаре. Перечислим классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре:

а) Конечный набор точек - периодическое или субгармоническое колебание.

б) Замкнутая кривая - квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот.

в) Фрактальный набор точек - "странный" аттрактор в трехмерном фазовом пространстве.

г) Бесформенный набор точек – Возможны четыре случая:

1) Динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе.

2) "Странный" аттрактор, но диссипация в системе очень слаба.

3) "Странный" аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями.

4) Квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот.

Постановка задачи

Дано уравнение движения маятника с колеблющейся точкой подвеса (1).

За начальные условия, приняты следующие величины:

=0, =

Также начальным параметрам, которые в ходе исследования оставались неизменными, были следующие значения:

=0.25, =1, =1.56

Задача состояла в изучении поведения маятника при различных значениях амплитуды () колебания точки подвеса. Значениеизменялось на интервале с шагом d = 0.001, от 3 до 5 с шагом 0.1, и далее от 5 до 8 с шагом 0.3, от 8 до 10 с шагом 0.5. Исследование проводилось при помощи фазового портрета системы и построения отображения Пуанкаре на фазовой плоскости.

Физической моделью данной системы является обычный физический маятник, точка подвеса которого совершает гармонические колебания с амплитудой 2. Уравнение движения данной системы представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Существует два способа его решения: аналитический и численный. Аналитическое решение (если оно, конечно, существует) очень сложно, и поэтому задача решалась только численно. В качестве численного метода решения задачи использовался метод Рунге - Кутта четвертого порядка. Алгоритм решения уравнения этим методом:

Сначала уравнение (1) представляется в виде системы двух уравнений первого порядка: =

=
(7)

Или =
(
)

=
(
)(8)

где:
(
) =

(
) =

Далее по методу Рунге-Кутта вводятся для:

=
(
)

=
(
)

=
(
)
(9)

=
(
)

и для :=
(
)

=
(
)

=
(
)
(10)

=
(
)

Далее определяем
и
по формулам:

=
,
=
(11)

Обсуждение результатов

Анализ результатов показывает, что при малых значениях колебания являются затухающими. На рис. 1 изображен фазовый портрет таких колебаний при =0.15.

рис.1. = 0.15 – Затухающие колебания

Далее при колебания принимают субгармонический характер (удвоение периода). Пример фазового портрета таких колебаний изображен на рисунке 4.

При наблюдаются затухающие колебания.

При колебания становятся гармоническими.

Затем при вновь наблюдается бифуркация (удвоение) периода. На отображении Пуанкаре две точки, изображенные на Рис. 2, которые означают, как уже говорилось, удвоение периода.

Рис. 2. =0.56 – Б ифуркация Периода

При колебания принимают квазипериодический характер (утроение, учетверение периода).

При колебания принимают характер странного аттрактора, отображение Пуанкаре для которого при =0.65 изображено на рис 3.

рис.3. = 0.65 - "Странный" аттрактор

В точке = 0. 780 наблюдается особое явление переходного хаоса: при вырождении на отображении Пуанкаре восемь точек. Фазовый портрет системы и отображение Пуанкаре для данного случая изображены на рис. 4,1 и Рис. 4,2.

Рис. 4,1 Отображение Пуанкаре Рис. 4,2 Фазовый портрет

=0.78 - Восьмикратный период

При колебания становятся периодическими - на отображении Пуанкаре - одна точка.

При наблюдаются субгармонические колебания с двойным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с четверным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с восьмерным периодом.

При вновь наблюдался "странный" аттрактор.

=3.4 - затухающие колебания.

- субгармонические колебания с двойным периодом.

={10.0} - периодические колебания, Фазовый портрет показан на рис. 5.

={9.9; 8.3} - хаос; динамическая система со слишком сильным сигналом или шумом на входе.

рис.5. =10.0 - Периодические колебания

В результате выполнения задачи мы исследовали зависимость характера колебаний маятника с колеблющейся (в вертикальной плоскости) точкой подвеса в зависимости от амплитуды вынуждающей силы. Были подтверждены распределения областей значений нарастающих / затухающих изображенные на Рис. 1 – при и, затем при колебания затухающие.

Были так же получены и определенны различные виды хаотических и не детерминированных движений системы:

а) Гармонического осциллятора (
).

б) Субгармонический осциллятор (

).

в) Квазипериодический осциллятор (
{0. 780}
).

г) Хаотический осциллятор (Все остальное множество значений, подробно проанализированное по классам движений в нелинейных детерминированных системах в п. “ Обсуждение результатов ”).

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы: частица движется на плоскости и ее положение определяется вектором . Пусть гамильтониан явно не зависит от времени и поэтому энергия сохраняется:

Фазовое пространство четырехмерно. Фазовые траектории находятся на трехмерной энергетической гиперповерхности. Соотношение (15) позволяет, по крайней мере, локально выразить любую из четырех переменных как функцию трех остальных, например

Таким образом, фазовое пространство фактически становится трехмерным (если нет дополнительных интегралов движения). Выберем в этом трехмерном пространстве некоторую поверхность , например, некоторую плоскость и рассмотрим ее последовательные пересечения фазовой траекторией в направлении возрастания времени.

При этом получим некоторую последовательность точек пересечения

Такое отображение точек на поверхности осуществляется с помощью некоторой функции :

Опр. Функция наз. функцией последования или отображением

Пуанкаре .

Совокупность точек также называется отображением Пуанкаре .

Понятие отображения Пуанкаре можно распространить и на системы с

Для автономных систем размерность энергетической гиперповерхности, на которой расположены фазовые кривые, равна

В этом случае рассматриваются последовательные точки пересечения траектории динамической системы с - мерной гиперповерхностью при условии, что поток нигде не касается , а «протыкает» ее. Если помимо интеграла энергии имеется еще интегралов движения, то размерность усеченного фазового пространства равна , а размерность гиперповерхности равна .

Если известна структура следов на секущей поверхности , это дает возможность наглядно представить динамику системы.

Так называемому квазипериодическому движению соответствует отображение Пуанкаре, множество точек которого плотно заполняет определенную замкнутую кривую.

Наконец существуют системы, для которых при некоторых условиях траектория на представлена хаотическим множеством точек. Режим эволюции таких точек не является ни периодическим, ни квазипериодическим.

Раздел. Интегрируемые системы .

Мы уже говорили - уравнения Гамильтона обладают тем важным свойством, что допускают широкий класс преобразований канонических переменных (канонические преобразования), при которых не изменяется общая форма уравнений для любой гамильтоновой системы:

Такие преобразования могут быть полезны при построении решений и анализе физической картины движения.

Одно из важных и часто используемых преобразований является преобразование

, (4)полностью интегрируемой , если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти к переменным действие-угол.

(фазовых кривых) системы.

Более подробно, отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре ), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль ). Из точки на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через . Отображение Пуанкаре точке ставит в соответствие точку первого возвращения . Если траектория, выпущенная из , никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.

Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.

Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений - с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.

См. также

Отражающая функция

Ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Отображение Пуанкаре" в других словарях:

Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия

О возвращении одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой. Примером такой системы является гамилътонова система, эволюция к рой описывается решениями Гамильтона уравнений канонич. координаты и… … Физическая энциклопедия

Пусть К кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с радиусами r=a и r=b, и дано отображение его в себя (q полярный угол) удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет площадь, 2) каждая граничная окружность переходит в себя, 3) точки с … Математическая энциклопедия

1) П. п. формальной размерности и топологическое пространство X, где задан элемент, что гомоморфизм вида является изоморфизмом для любого k(здесь операция Уитни умножения, высечение). При этом наз. изоморфизмо … Математическая энциклопедия

Раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1 го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и… … Математическая энциклопедия

Для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v,… … Математическая энциклопедия

Последняя теорема Пуанкаре геометрическое утверждение, опубликованное Анри Пуанкаре (без доказательства) незадолго до смерти (1912). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф. Содержание 1 Формулировка 2 Вариации … Википедия

Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры,… … Большая советская энциклопедия

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пуанкаре. В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа… … Википедия

Цель работы – освоение сечения Пуанкаре, как одного из удобных инструментов анализа нелинейной динамики систем.

Теоретическое описание

Особенности хаотической и регулярной динамики систем могут быть изучены по их фазовым траекториям в пространстве состояний М. Однако, начиная с размерности n=3, визуальный анализ траекторий, аттракторов и всего фазового портрета, как векторного поля, затруднителен. Проекции аттрактора на координатные плоскости в М мало помогают. Эффективным инструментом оказывается сечение Пуанкаре.

Известно, что дискретные динамические системы могут получаться из непрерывных путём фиксации значений в изолированные моменты времени. При этом интервалы между этими моментами не обязательно одинаковые. В теории динамических систем переход от непрерывных к дискретным системам осуществляется с помощью сечений Пуанкаре. При этом мы как бы оставляем в фазовом пространстве те точки траектории, в которых она пересекает некоторую поверхность. Таким образом, удаётся снизить размерность системы, т.к. поверхность в n-мерном пространстве имеет размерность n-1, упростить анализ динамики, т.к. системы разностных уравнений легче изучать, чем дифференциальных уравнений. Доказано, что при таком переходе сохраняются все основные свойства непрерывной системы. Поэтому анализ дискретных отображений является практичным при исследовании динамических систем.

Реализуя этот метод, мы как бы помещаем в М некоторую поверхность S (обычно плоскость) так, чтобы фазовые траектории пересекали ее под ненулевым углом. Множество точек пересечения Рi поверхности в одном направлении и называется сечением Пуанкаре. Геометрические особенности сечения определяются конфигурацией аттрактора и при удачном выборе секущих плоскостей удается "рассмотреть" всю его топологию. Мы как бы разрезаем его на слои.

Рис.4.1. Пример сечения Пуанкаре плоскостью х3=h.

Сечение и отображение Пуанкаре обладают теми же топологическими свойствами, что и породивший их поток. Например, если поток диссипативен и объёмы в фазовом пространстве сжимаются, то отображение сокращает площади на плоскости S. Аналогично, если у потока имеется аттрактор, то его структурные характеристики могут быть найдены в сечении Пуанкаре. Если аттрактор представляет собой предельный цикл, то в правильно подобранном сечении мы увидим одну периодически посещаемую точку или несколько, если эта замкнутая траектория (предельный цикл) очень извилистая. Перемещая секущую S, мы сможем изучить эту траекторию.

Квазипериодическое движение на торе, которое нелегко рассмотреть в решениях дифференциальных уравнений и в фазовом пространстве, проявится в сечении Пуанкаре замкнутыми плотными цепочками точек. Странные аттракторы, соответствующие хаотическому режиму, дадут нам в сечении канторовское множество точек, то есть нигде не плотное множество с самоподобной фрактальной структурой. Подобное множество мы видели в работе №2 – это аттрактор Эно. Однако при сильной диссипации увидеть фрактальность сложно и для подтверждения "странности" аттрактора нужно вычислять фрактальную или корреляционную размерность сечения.

Понятно, что при изучении динамической системы 4-го порядка сечение Пуанкаре даст нам трехмерное множество точек, визуализировать его мы едва ли сможем и анализ будет непрост, но все же возможен.

Мы как и раньше считаем, что фазовые траектории, стягивающиеся в аттрактор, производит диссипативная автономная динамическая система вида

Связь хронологически соседних точек сечения Пуанкаре, т.е. непрерывное отображением плоскости S на себя

Pi+1=Ф(Pi) , i=1,2,… (4.2)

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi определяются системой разностных уравнений

x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

Cистема (4.2) и ее скалярный вид (4.3) называются отображением Пуанкаре. Обратите внимание на то, что интервалы времени между появлениями точек Pi в сечении не одинаковы. Иногда применяют особые сечения Пуанкаре, обеспечивающие постоянный интервал времени между появлением точек сечения (стробоскоп). При этом интервал обычно равен периоду какого-то внешнего воздействия в неавтономных системах. Можно считать, что все разностные аппроксимации непрерывных динамических систем являются некоторыми отображениями Пуанкаре.

Уравнение поверхности в фазовом пространстве как бы задает условия связи переменных, и мы фиксируем лишь те точки траекторий, которые удовлетворяют этим условиям. Особый интерес могут представлять условия экстремума какого-либо из состояний, некоторые технологические условия, уравнения баланса, имеющие конкретный физический смысл и т.п.

Например, условие экстремума состояния x2 в системе (3.3) таково

x2 +20x3 –x1 x3 = 0.

Чтобы средствами программы ODE сформировать такую секущую поверхность, введем дополнительную переменную z = x1 x3 и сформируем дополнительное уравнение

Решая совместно все четыре уравнения в режиме сечения Пуанкаре, получаем нужные нам точки экстремума (только максимумы или только минимумы в зависимости от начальных условий). Секущая Пуанкаре такова x2 +20x3 – z = 0. На рис. 4.2 представлен вид панели ODE для моделирования соответствующего сечения аттрактора системы (3.3).

Рис. 4.2. Панель управления программы ODE.

Кроме визуального анализа сечений, который затруднен в случай нелинейных секущих поверхностей, программа ODE позволяет увидеть связь текущих координат точек сечения с предыдущими. В режиме “n/(n+k)” можно вывести на экран зависимость последующего экстремума от предыдущего, скажем,

Вид этой зависимости может нам позволить выявить детерминированность в хаосе флуктуаций x2(t). На рис. 4.3 показаны результаты такого анализа.

Метод сечений Пуанкаре упрощает исследование непрерывных потоков по трем причинам. Во-первых, мы переходим от потока в R3 к отображению на плоскости, понижая тем самым число координат на единицу. Во-вторых, время дискретизуется, и дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями отображений Пуанкаре (4.3). Наконец, в-третьих, резко сокращается число данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

Рис.4.3. Отображение Пуанкаре (вверху) экстремальных точек решения x2(t) (внизу) системы (3.3).

Порядок проведения лабораторной работы.

Включить программу ODE.

Используя режим сечения Пуанкаре, найти разные сечения для аттрактора в виде тора в трехмерном пространстве (файл TOR3.ode) (уравнение секущей плоскости задавать в форме Гессе).

Найти сечения и отображения Пуанкаре для аттракторов Ресслера и Лоренца, соответствующих экстремальным точкам первой координаты этих систем.

Провести ряд параллельных сечений аттрактора Кислова-Дмитриева, с целью изучения его топологии. Проверить влияние параметров системы на форму аттрактора. Попытаться вскрыть фрактальную структуру аттрактора путем увеличения небольшого фрагмента сечения Пуанкаре при большом количестве точек в решении системы уравнений.

Повторить пункт 4 для системы, заданной преподавателем.

Контрольные вопросы

Как, используя программу ОDE, построить сечение и отображение Пуанкаре?

Как построить сечение и отображение Пуанкаре для фиксации точек максимума и минимума одного из решений системы?

Как использовать программу ODE для увеличения нужного фрагмента сечения?

Как осуществлять нужный поворот осей для проектирования сечения на координатные плоскости?