Динамические модели: понятие, виды. Динамические модели: понятие, виды Методы интерполяции по ареалам

Введение

динамический модель математический

Динамическая модель - теоретическая конструкция (модель), описывающая изменение (динамику) состояний объекта. Динамическая модель может включать в себя описание этапов или фаз или диаграмму состояний подсистем. Часто имеет математическое выражение и используется главным образом в общественных науках (например, в социологии), имеющих дело с динамическими системами, однако современная парадигма науки способствует тому, что данная модель также имеет широкое распространение во всех без исключения науках в т.ч. в естественных и технических.

Экономико-математические модели описывают экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Существует два подхода к построению динамической модели:

оптимизационный (выбор оптимальной траектории экономического развития из множества возможных)

описательный, в центре которого понятие равновесной траектории (т. е. уравновешенного, сбалансированного роста).

Динамические межотраслевые модели, экономико-математические модели плановых расчётов, позволяющие определять по годам перспективного периода объёмы производства продукции, капитальных вложений (а также ввода в действие основных фондов и производственных мощностей) по отраслям материального производства в их взаимной связи. В динамических межотраслевых моделях на каждый год планового периода задаются объёмы и структура "чистого" конечного продукта (личного и общественного потребления, накопления оборотных фондов и государственных резервов, экспортно-импортного сальдо, капитальных вложений, не связанных с увеличением производства в рассматриваемом периоде), а также объём и структура основных фондов на начало периода. В динамических межотраслевых моделях, помимо коэффициента прямых затрат, присущих статическим межотраслевым моделям, вводят специальные коэффициенты, характеризующие материально-вещественную структуру капитальных вложений.

По типу используемого математического аппарата динамические межотраслевые модели делятся на балансовые и оптимальные. Балансовые динамические межотраслевые модели могут быть представлены как в форме системы линейных уравнений, так и в форме линейных дифференциальных или разностных уравнений. Балансовые динамические межотраслевые модели различают также по лагу (разрыв во времени между началом строительства и пуском в эксплуатацию построенного объекта). Для оптимальных динамических межотраслевых моделей характерны наличие определённого критерия оптимальности, замена системы линейных уравнений системой неравенств, введение специальных ограничений по трудовым и природным ресурсам.

Динамические физические и виртуальные объекты существуют объективно. Это значит, что эти объекты функционируют в соответствии с некоторыми законами, независимо от того, знает ли и понимает ли их человек или нет. Например, для управления автомобилем вовсе не обязательно знать, как работает двигатель, что в нем происходит и почему это приводит к движению автомобиля, если нажимать на газ или поворачивать руль. Но если человек предполагает не управлять автомобилем, а сконструировать систему управления им, то знание и понимание процессов динамики уже совершенно необходимо.

Динамические объекты и их линейные модели плотно исследовались и анализировались на протяжении более двух столетий многими учеными и инженерами. Результаты этих исследований и анализа и представляются ниже качественно в концентрированном виде, так, как это воспринимается автором. Прежде всего, это относится к линейным моделям динамических систем, их классификации, описанию их свойств и области состоятельности.

Кроме того, далее обсуждаются и некоторые свойства нелинейных систем. Слова, термины "динамический", "динамичный" прочно и широко вошли в различные области знаний человека, используются и в быту, как эмоциональный эпитет энергичного движения в широком смысле этого слова, синоним быстрых изменений. В предлагаемой работе термин "динамический" будет использован в его узком и непосредственном значении, означающем "силовой", т.е. динамический объект - это объект, подверженный внешнему воздействию, приводящему к движению в широком смысле этого слова.

1. Динамические модели: понятие, виды

Динамический объект - это физическое тело, техническое устройство или процесс, имеющее входы, точки возможного приложения внешних воздействий, и воспринимающие эти воздействия, и выходы, точки, значения физических величин в которых характеризуют состояние объекта. Объект способен реагировать на внешние воздействия изменением своего внутреннего состояния и выходных величин, характеризующих его состояние. Воздействие на объект, и его реакция в общем случае изменяются с течением времени, они наблюдаемы, т.е. могут быть измерены соответствующими приборами. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов.

Если вчитаться и вдуматься в приведенное выше нестрогое определение, можно увидеть, что отдельно динамический объект в "чистом" виде, как вещь в себе, не существует: для описания объекта модель должна содержать еще и 4 источника воздействий (генераторы):

среду и механизм подачи на него этих воздействий

объект должен иметь протяженность в пространств

функционировать во времени

в модели должны быть измерительные устройства.

Воздействием на объект может быть некоторая физическая величина: сила, температура, давление, электрическое напряжение и другие физические величины или совокупность нескольких величин, а реакцией, откликом объекта на воздействие, может быть движение в пространстве, например смещение или скорость, изменение температуры, силы тока и др.

Для линейных моделей динамических объектов справедлив принцип суперпозиции (наложения), т.е. реакция на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а масштабному изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции на него. Одно воздействие может быть приложено к нескольким объектам или нескольким элементам объекта.

Понятие динамический объект содержит и выражает причинно-следственную связь между воздействием на него и его реакцией. Например, между силой, приложенной к массивному телу, и его положением и движением, между электрическим напряжением, приложенным к элементу, и током, протекающим в нем.

В общем случае динамические объекты являются нелинейными, в том числе они могут обладать и дискретностью, например, изменять быстро структуру при достижении воздействием некоторого уровня. Но обычно большую часть времени функционирования динамические объекты непрерывны во времени и при малых сигналах они линейны. Поэтому ниже основное внимание будет уделено именно линейным непрерывным динамическим объектам.

Пример непрерывности: автомобиль, двигающийся по дороге - непрерывно функционирующий во времени объект, его положение зависит от времени непрерывно. Значительную часть времени автомобиль может рассматриваться как линейный объект, объект, функционирующий в линейном режиме. И только при авариях, столкновениях, когда, например, автомобиль разрушается, требуется описание его как нелинейного объекта.

Линейность и непрерывность во времени выходной величины объекта просто удобный частный, но важный случай, позволяющий достаточно просто рассмотреть значительное число свойств динамического объекта.

С другой стороны, если объект характеризуется процессами, протекающими в разных масштабах времени, то во многих случаях допустимо и полезно заменить наибыстрейшие процессы их дискретным во времени изменением.

Настоящая работа посвящена, прежде всего, линейным моделям динамических объектов при детерминированных воздействиях. Гладкие детерминированные воздействия произвольного вида могут быть генерированы путем дискретного, сравнительно редкого аддитивного действия на младшие производные воздействия дозированными дельта - функциями. Такие модели состоятельны при сравнительно малых воздействиях для весьма широкого класса реальных объектов. Например, именно так формируются сигналы управления в компьютерных играх, имитирующих управление автомобилем или самолетом с клавиатуры. Случайные воздействия пока остаются за рамками рассмотрения.

Состоятельность линейной модели динамического объекта определяется, в частности тем, что является ли его выходная величина достаточно гладкой, т.е. является ли она и несколько ее младших производных по времени непрерывными. Дело в том, что выходные величины реальных объектов изменяются достаточно плавно во времени. Например, самолет не может мгновенно переместиться из одной точки пространства в другую. Более того он, как и любое массивное тело, не может скачком изменить свою скорость, на это потребовалась бы бесконечная мощность. Но ускорение самолета или автомобиля может изменяться скачком.

Понятие динамический объект вовсе не всесторонне определяет физический объект. Например, описание автомобиля как динамического объекта позволяет ответить на вопросы, как быстро он разгоняется и тормозит, как плавно двигается по неровной дороге и кочкам, какие воздействия будут испытывать водитель и пассажиры машины при движении по дороге, на какую гору он может подняться и т.п. Но в такой модели безразлично, какой цвет у автомобиля, не важна его цена и др., постольку, они не влияют на разгон автомобиля. Модель должна отражать главные с точки зрения некоторого критерия или совокупности критериев свойства моделируемого объекта и пренебрегать второстепенными его свойствами. Иначе она будет чрезмерно сложной, что затруднит анализ интересующих исследователя свойств.

С дугой стороны, если исследователя интересует именно изменение во времени цвета автомобиля, вызываемое различными факторами, например солнечным светом или старением, то и для этого случая может быть составлено и решено соответствующее дифференциальное уравнение.

Реальные объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействия от некоторого источника, но и сами воздействуют на этот источник, противодействуют ему. Выходная величина объекта управления во многих случаях является входной для другого, последующего динамического объекта, которая также, в свою очередь, может влиять на режим работы объекта. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

Часто, при решении многих задач, рассматривается поведение динамического объекта только во времени, а его пространственные характеристики, в случаях, если они непосредственно не интересуют исследователя, не рассматриваются и не учитываются, за исключением упрощенного учета задержки сигнала, которая может быть обусловлена временем распространения воздействия в пространстве от источника к приемнику.

Динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями (системой дифференциальных уравнений). Во многих практически важных случаях это линейное, обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) или система ОДУ. Многообразие видов динамических объектов определяет высокую значимость дифференциальных уравнений как универсального математического аппарата их описания, позволяющего проводить теоретические исследования (анализ) этих объектов и на основе такого анализа конструировать модели и строить полезные для людей системы, приборы и устройства, объяснять устройство окружающего нас мира, по крайней мере, в масштабах макромира (не микро- и не мега-).

Модель динамического объекта состоятельна, если она адекватна, соответствует реальному динамическому объекту. Это соответствие ограничивается некоторой пространственно-временной областью и диапазоном воздействий.

Модель динамического объекта реализуема, если можно построить реальный объект, поведение которого под влиянием воздействий в некоторой пространственно-временной области и при некотором классе и диапазоне входных воздействий соответствует поведению модели.

Широта классов, многообразие структур динамических объектов может вызвать предположение, что все они вместе обладают неисчислимым набором свойств. Однако попытка охватить и понять эти свойства, и принципы работы динамических объектов, во всем их многообразии вовсе не столь безнадежна.

Дело в том, что если динамические объекты адекватно описываются дифференциальными уравнениями, а это именно так, то совокупность свойств, характеризующих динамический объект любого рода, определяется совокупностью свойств характеризующих его дифференциальное уравнение. Можно утверждать что, по крайней мере, для линейных объектов таких основных свойств существует довольно ограниченное и сравнительно небольшое число, а поэтому ограничен и набор основных свойств динамических объектов. Опираясь на эти свойства и комбинируя элементы, обладающие ими, можно построить динамические объекты с самыми разнообразными характеристиками.

Итак, основные свойства динамических объектов выведены теоретически из их дифференциальных уравнений и соотнесены с поведением соответствующих реальных объектов.

Динамический объект - это объект, воспринимающий изменяющиеся во времени внешние воздействия и реагирующий на них изменением выходной величины. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов. Иерархия объектов ограничена снизу простейшими моделями и опирается на их свойства.

Воздействием на объект, как и его реакцией, являются физические, измеряемые величины, это может быть и совокупность физических величин, математически описываемая векторами.

При описании динамических объектов с помощью дифференциальных уравнений неявно предполагается, что каждый элемент динамического объекта получает и расходует столько энергии (такую мощность), сколько ему требуется для нормальной работы в соответствии с его назначением по отклику на поступающие воздействия. Часть этой энергии объект может получать от входного воздействия и это описывается дифференциальным уравнением явно, другая часть может поступать от сторонних источников и в дифференциальном уравнении не фигурировать. Такой подход существенно упрощает анализ модели, не искажая свойств элементов и всего объекта. При необходимости процесс обмена энергией с внешней средой может быть подробно описан в явной форме и это будут также дифференциальные и алгебраические уравнения.

В некоторых частных случаях источником всей энергии (мощности) для выходного сигнала объекта является входное воздействие: рычаг, разгон массивного тела силой, пассивная электрическая цепь и др.

В общем случае воздействие может рассматриваться как управляющее потоками энергии для получения необходимой мощности выходного сигнала: усилитель синусоидального сигнала, просто идеальный усилитель и др.

Динамические объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействие от его источника, но и сами воздействуют на этот источник: например в классической механике это выражается принципом, сформулированном в третьем законе Ньютона: действие равно противодействию, в электротехнике напряжение источника есть результат установления динамического равновесия между источником и нагрузкой. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

По существу, все элементы динамического объекта являются двунаправленными, как и сам объект по отношению к внешним объектам. Это следует из обобщения третьего закона Ньютона, сформулированного им для механики: сила противодействия тела равна силе воздействия на него другим телом и направлена навстречу ей, а в химии также формулируется в виде принципа Ле Шателье. Обобщая можно сказать: воздействие одного динамического элемента на другой встречает противодействие некоторого вида. Например, электрическая нагрузка источника напряжения противодействует ему током, изменяя значение напряжения на выходе источника. В общем случае противодействие нагрузки влияет на режим работы источника, и их поведение определяется в результате, если это возможно, переходом в некоторое динамическое равновесие.

Во многих случаях мощность источника воздействия значительно больше потребной входной мощности приемника, каковым является динамический объект. В этом случае динамический объект практически не влияет на режим работы источника (генератора) и связь может рассматриваться как однонаправленная от источника к объекту. Такая однонаправленная модель элемента, основывающаяся на рациональном физическом структурировании объекта, существенно упрощает описание и анализ системы. Собственно, многие технические объекты, хотя и далеко не все же, строятся как раз по такому принципу, в частности при проектировании систем для решения задач управления. В других случаях, например при решении задачи, когда требуется получение максимального кпд двигателя, противодействием пренебречь нельзя.

Детализируя структуру динамического объекта можно придти к элементарным, условно не упрощаемым объектам. Такие объекты описываются простейшими алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Фактически такие элементы в свою очередь могут иметь сложную структуру, однако удобнее при моделировании воспринимать их как единое целое, свойства которого определяются этими, сравнительно простыми уравнениями, связывающими реакцию с воздействием.

1.1 Физические модели

Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состоит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность.

Наиболее известным примером физической модели является копия конструируемого самолета, выполненная с полным соблюдением пропорций, скажем 1:50. На одном из этапов разработки самолета новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовленную копию продувают в специальной (аэродинамической) трубе, а полученные показания затем тщательно исследуют. Выгодность такого подхода совершенно очевидна. И потому все ведущие самолетостроительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата.

Часто в аэродинамическую трубу помещают уменьшенные копии многоэтажных зданий, имитируя при этом розу ветров, характерную для той местности, где предполагается их строительство. Пользуются физическими моделями и в кораблестроении.

1.2 Математические модели

Так называют модели, использующие для описания свойств и характеристик объекта или события математические символы и методы. Если некоторую проблему удается перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, которые нельзя отменить указом или иным способом. Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от условностей. Математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По существу, любая формула (или совокупность формул) представляет собой определенный этап в построении математической модели. Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение) довольно легко. Трудно в этой модельной и следовательно, упрощенной форме суметь передать суть изучаемого явления.

Любой функциональный элемент реального объекта имеет свою структуру, его можно, как и весь объект, мысленно или физически разделить на взаимодействующие элементы. Элементарный динамический объект это рационально выбранный элемент реального объекта, условно считающийся неделимым, обладающий, как целое некоторым фундаментальным свойством, например инерцией, и с достаточной степенью точности описываемый простейшим алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Важнейшее, фундаментальное свойство динамических объектов это их инерционность. Физически инерционность выражается в том, что объект не сразу, а постепенно реагирует на внешние воздействия, а в отсутствие внешнего воздействия стремится сохранить свое состояние и поведение. Математически инерция выражается в том, что выходная величина реального объекта является непрерывной во времени величиной. Более того, некоторые младшие производные выходной величины тоже должны быть непрерывными, они не могут изменяться скачком при ограниченных по мощности воздействиях, в том числе и изменяющихся скачком, ступенчато во времени.

Простейшие инерционные динамические объекты - кинедины. Это элементарные объекты, мысленно или физически вычленяемые из структуры сложного объекта и с достаточной степенью точности подчиняющиеся простейшим дифференциальным уравнениям различных порядков. Такие модели состоятельны, по крайней мере, в некоторой пространственно-временной области и в ограниченном диапазоне величин сигналов.

Математическое описание инерции динамического объекта, объекта, соответствующего некоторому дифференциальному уравнению, состоит в том, что воздействие сказывается на реакции объекта опосредовано, оно непосредственно влияет на ту или иную производную реакции по времени, или сразу на несколько из них. Это и приводит к тому, что реакция проявляется только с течением времени.

И действительно, такое описание соответствует поведению реальных объектов. Например, при мгновенной подаче некоторого, сравнительно малого, не меняющегося после подачи воздействия на элементарный объект второго порядка, например силы на инерционную массу, объект остается некоторое, пусть малое, время в том же состоянии, что и до подачи, имеет ту же скорость, что и ранее.

Но вторая производная, т.е. ускорение, прыгает скачком, пропорционально величине приложенной силы. И, поэтому, только с течением времени, а не сразу, наличие второй производной проявляется в изменении скорости, а следовательно, в последующем, и на положении тела в пространстве.

1.3 Аналоговые модели

Так называют модели, представляющие исследуемый объект аналогом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой.

Приведем два достаточно характерных примера.

Пример 1. График, иллюстрирующий соотношения между затраченными усилиями и результатами, является аналоговой моделью. График на рис. 1.1 показывает, как количество времени, отведенное студентом на подготовку к экзамену, влияет на его результат.

Рис. 1.1. График, иллюстрирующий соотношения между затраченными усилиями и результатами

Пример 2. Предположим, что нужно найти наиболее экономичный способ для регулярных известных поставок товаров в три города, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что стоимость каждой перевозки равна произведению расстояния от склада до пункта назначения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонна-километрах).

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахождения каждого города пропилим сквозные отверстия, пропустим через них нити и привяжем к ним грузики, пропорциональные запросам товаров в этот город (рис. 1.2). Свяжем свободные концы нитей в один узел и отпустим. Под действием силы тяжести система придет в состояние равновесия. То место на листе фанеры, которое при этом займет узел, и будет соответствовать оптимальному расположению склада (рис. 1.3).

Замечание. Стоимость дорог, которые придется построить заново, мы для простоты рассуждений в расчет не принимаем.

Рис. 1.2. Карта местности на листе фанеры

Рис. 1.3. Оптимальное расположение склада

2. Построение математических моделей дискретных объектов

2.1 Модель народонаселения

Интересно, что построить математическую модель часто совсем нетрудно. Нередко для этого используются самые простые и легкообъяснимые предположения. Опишем, как это можно сделать, на одном почти реальном примере. Представим себе следующую картину. Середина XVIII в. центральная Европа, приход в глубинке, церковь, прихожане - жители окрестных деревень, приходский священник замечает, что храм стал тесноват для богослужений: возросло число прихожан. Священник размышляет: если число прихожан будет увеличиваться и в будущем, то придется строить новую церковь, для чего понадобятся средства, и немалые.

Священник понимает, что срок, за который должен быть построен храм, и его размеры во многом зависят от того, как имено будет изменяться число окрестных жителей. И он решает попытаться рассчитать это. Попробуем и мы изложить возможный ход его рассуждений, пользуясь современными обозначениями и языком.

Обозначим через х количество прихожан к концу n-го года. Их численность через год, т.е. к концу (n + 1)-го года, естественно обозначить через хn+1. Тогда изменение численности за этот год можно описать разностью

Оно происходит по двум естественным причинам - люди рождаются и умирают (для простоты будем считать, что вирус миграций эту местность тогда еще не поразил). Определить число родившихся и число умерших за год по приходским книгам особого труда не составляет. Подсчитывая число родившихся и умерших в разные годы, священник решает сопоставить полученные числа и d1,...,dk с общим числом прихожан за эти годы x1,..,xk, и замечает, что отношения x1,...,xk год от года различаются весьма мало. То же касается и отношений

Для простоты расчетов будем считать эти отношения постоянными и обозначим их через? и? соответственно. Тем самым число родившихся в n-м году оказывается равным, число умерших - ?xn, а изменение численности по естественным причинам составляет +?xn - ?xn.

В результате мы приходим к соотношению?xn=?хn - ?xn или подробнее:

xn+1=xn +?xn-?xn

Положим?=1 + ? - ?. Тогда интересующая нас формула примет вид

Модель построена.

Попробуем разобраться теперь с тем, что же получилось, т. е. проанализировать построенную модель. Возможны три случая:

1)?>1(?=?-?>0 - рождается больше, чем умирает) и численность прихожан растет год от года,

2)?=1 (?=?-?=0 - умирает столько же, сколько рождается) и численность прихожан год от года остается неизменной,

3)?<0 (?=?-?<0 - умирает больше, чем рождается) и численность прихожан неуклонно снижается.

Так как побудительным мотивом для построения модели было желание узнать, как быстро будет расти число прихожан, начнем с рассмотрения случая 1.

Случай 1. Итак, численность прихожан растет. Но как, насколько быстро? Здесь самое время кратко вспомнить поучительную историю (печальную притчу) о безвестном изобретателе шахмат. Говорят, что игра очень понравилась богатому и всесильному магарадже, который тут же решил наградить изобретателя и щедро предложил выбрать вознаграждение ему самому. Тот, как рассказывают, смахнув фигуры с шахматной доски, положил на 1-ю клетку одно пшеничное зернышко, на 2-ю - два зернышка, на 3-ю - четыре зернышка, на 4-ю - восемь зернышек (рис. 2.1) и предложил магарадже, чтобы он отдал распоряжение слугам выкладывать зерна пшеницы на другие клетки шахматной доски по предложенному закону, т. е. так: 1,2,4,8,16,…,263.

Рис. 2.1. Задача о шахматной доске и награде магараджи

Магараджу эта простая просьба почти обидела, и он согласилсявыполнить ее далеко не сразу. Но изобретатель настаивал. Магараджа приказал. И слуги тут же кинулись исполнять это "легкое"задание. Нужно ли говорить, что выполнить распоряжение магараджи им не удалось. Дело в том, что общее количество зерен пшеницына шахматной доске должно было быть равным 264 - 1, что намного превышает выращиваемое сейчас во всем мире за год. Закончим притчу совсем коротко: магараджа оказался в непривычном для себя положении - он прилюдно дал обещание и не смог его выполнить. Виновного, впрочем, тут же и нашли. Возможно, именно поэтому история и не сохранила имени изобретателя шахмат. Попробуем, однако, изобразить на графике, как быстро растет число зерен в каждой следующей клетке, для большей наглядности соединяя соседние точки (рис. 2.2).

Рис. 2.2-2.3. Экспоненциальное изменение численности

Правило, предложенное изобретателем шахмат, Xn+1=2xn является частным случаем формулы (1) при ?=2 и, так же как и она, описывает закон, следуя которому мы получаем последовательность чисел, образующих геометрическую прогрессию. При любом ?>1 картинка, иллюстрирующая изменение xn, имеет похожий вид - xn будет расти экспоненциально. В 1820 г. в Лондоне Т.Р. Мальтусом была опубликована работа "Principles of political economy considered with a view to their practical application" (в русском переводе - "Опыт о законе народонаселения..." Т. 1-2. СПб., 1868), в которой, в частности, говорилось о том, что в силу биологических особенностей людей население имеет тенденцию размножаться по закону геометрической прогрессии,

xn=1=?xn,?>1,

в то время как средства существования могут увеличиваться лишь по закону арифметической прогрессии, yn+1=yn+d, d>0. Такое различие в скорости изменения величин, непосредственно связанных с проблемами выживаемости популяции (рис. 2.3), не могло остаться незамеченным и вызвало довольно жесткую критику и сильно политизированную полемику в соответствующих кругах. Попробуем извлечь из самого факта критики полезный для нас вывод об адекватности построенной модели (1). Разумеется, при попытке упрощенного описания ситуации некоторыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несущественными. Однако единого взгляда на то, что именно существенно, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но согласитесь, что одно дело пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое - часовая прогулка под таким дождем без зонта. Нечто аналогичное мы наблюдаем и здесь: при расчете на 3-4 года вперед формула (1) работает достаточно хорошо, но долгосрочный прогноз, основанный на ней, оказывается ошибочным.

Важный вывод. Предлагая построенную или выбранную вами модель, вы непременно должны указать пределы, в которых ею можно пользоваться, и предупредить о том, что нарушение этих ограничений может привести (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошибкам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс. Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т. п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что вам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им раз-другой по ткани. Такое вы сделать можете. Но вот захотите ли вы носить блузку или рубашку после такого глажения? Случай 2. Численность населения не изменяется (рис. 2.4). Случай 3. Население вымирает (рис. 2.5).

Рис. 2.4. График народонаселения при неизменяющейся численности

Рис. 2.5. График народонаселения при убывающей численности

Мы умышленно весьма подробно остановились на описании модели народонаселения, во-первых, потому, что она является одной из первых моделей подобного рода, и, во-вторых, чтобы на ее примере показать, через какие основные этапы проходит решение задачи построения математической модели.

Замечание 1. Очень часто, описывая эту модель народонаселения, привлекают ее дифференциальный вариант: x=?x (здесь х=x(t) - зависящая от времени численность популяции, х" - производная по времени, ?- постоянная величина).

Замечание 2. При больших значениях х конкурентная борьба за средства существования приводит к уменьшению ?, и эта жесткая модель должна быть заменена более мягкой моделью: x=?(x)x, в которой коэффициент ? зависит от численности населения. В простейшем случае эта зависимость описывается так:

?(x)=a-bx

где а и b - постоянные числа, а соответствующее уравнение принимает вид

x=ax-bx2

И мы приходим к более сложной, так называемой логистической модели, которая описывает динамику популяции уже достаточно хорошо. Анализ логистической кривой (рис. 2.6) весьма поучителен, и его проведение может быть любопытно читателю. Логистическая модель хорошо описывает и другие процессы, например эффективность рекламы.

Рис. 2.6. Логистическая кривая

2.2 Модель хищник - жертва

Выше рассказывалось о беспрепятственном размножении популяции. Однако в реальных обстоятельствах популяция сосуществует с другими популяциями, находясь с ними в самых разных взаимоотношениях. Здесь мы коротко рассмотрим антагонистическую пару хищник - жертва (это может быть и пара рысь - заяц и пара божья коровка - тля) и попытаемся проследить, как может изменяться со временем численность обеих взаимодействующих сторон. Популяция жертвы может существовать сама по себе, в то время как популяция хищника - только за счет жертвы. Обозначим численность популяции жертвы через х, а численность популяции хищника через у. В отсутствие хищника жертва размножается согласно уравнению x=ax, a>0, а хищник в отсутствие жертвы вымирает по закону y=-?y,?>0. Хищник съедает тем больше жертвы, чем ее больше и чем более многочислен он сам. Поэтому при наличии хищника численность жертвы меняется по закону

x=ax-?xy,?>0

Съеденное количество жертвы способствует размножению хищника, что можно записать так: y=-?y+?xy, ?>0.

Таким образом, мы получаем систему уравнений

x=ax-?xy

y=-?y+?xy

причем x?0, y?0.

Модель хищник - жертва построена.

Как и в предыдущей модели, наибольший интерес для нас представляет точка равновесия (х*,у*), где х* и у* - отличное от нуля решение системы уравнений

ax-?xy=0

Y+?xy=0

Или x(a-?y)=0, y(-?+?x)=0

Эта система получается из условия стабильности численности обеих популяций x=0, y=0

Координаты точки равновесия - она является точкой пересечения прямых

a-?y=0 (2)

?+?x=0 (3)

легко вычисляются:

, (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Решение системы уравнений

Начало координат О(0,0) лежит в положительной полуплоскости относительно горизонтальной прямой, задаваемой уравнением (2), а относительно вертикальной прямой, задаваемой уравнением (3), в отрицательной полуплоскости (рис. 2.8). Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как х>0 и у>0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: 1-(+,+), 2-(-,+), 3-(-,-), 4-(+,-).

Рис. 2.8. Разбиение области решений на квадранты

Пусть начальное состояние Q(x0,y0) находится в области IV. Тогда выполнены неравенства?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Подобным же образом анализируя поведение х и у в областях 2, 3 и 4, получим в итоге картину, изображенную на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Изменение x и y по квадрантам

Тем самым начальное состояние Q приводит к периодическому колебанию численности, как жертвы, так и хищника, так что по прошествии какого-то времени система вновь возвращается в состояние Q (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Цикличность колебаний численности хищника и жертвы

Как показывают наблюдения, несмотря на свою простоту, предложенная модель качественно верно отражает колебательный характер численности в системе хищник - жертва (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Колебания систем Заяц - Рысь и Тля - Божья коровка

Реальные наблюдения. Вмешиваться в действия непонятных нам законов природы иногда довольно опасно - применение инсектицидов (если только они не уничтожают насекомых практически полностью) в конечном счете приводит к увеличению популяции тех насекомых, численность которых находится под контролем других насекомых-хищников. Случайно попавшая в Америку тля поставила под угрозу все производство цитрусовых. Вскоре туда же был завезен ее естественный враг - божья коровка, которая немедленно принялась за дело и сильно сократила популяцию тли. Чтобы ускорить процесс уничтожения, фермеры применили ДДТ, но в результате количество тли увеличилось, что, глядя на рис. 2.11, нетрудно предугадать.

2.3 Модель мобилизации

Под термином политическая, или социальная, мобилизация понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, в какое-либо общественное движение и т. п. Вследствие того что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым ее уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успехов пропагандистской кампании, ясно, что при построении соответствующей модели необходимо учитывать временной фактор. Иными словами, нужно понимать, что искомая модель должна быть динамической.

Постановка задачи. Отразить логику изменения уровня мобилизации в данном регионе между двумя соседними моментами времени, скажем за месяц (за год, неделю, день и т. п.).

Построение модели. Примем за единицу ту часть населения, для которой мобилизация данного типа имеет смысл. Пусть Mn- доля мобилизованного населения в момент времени tn=n. Тогда доля немобилизованного населения будет равна 1-Mn (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Соотношение мобилизованного и немобилизованного населения

За месяц уровень мобилизации может измениться по двум основным причинам:

) часть населения удалось привлечь дополнительно; ясно, что эта величина тем больше, чем выше доля еще несагитированного населения на момент tn=n, и поэтому можно считать ее равной ?(1-Мn), (здесь ?>0 - коэффициент агитируемости, постоянный для данного региона);

2) часть населения убыла (по разным причинам); ясно, что это уменьшает долю сагитированного населения тем больше, чем выше была эта доля на момент tn=n, и поэтому потери, связанные с выбытием, можно считать равными (здесь?>0 - постоянный коэффициент выбытия). Подчеркнем, что числовые параметры? и? отражают пропорциональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствующих частей населения рассматриваемого региона. Таким образом, изменение уровня мобилизации за единицу времени равно разности между долей населения, привлеченного дополнительно, и долей выбывшего сагитированного населения:

Это и есть уравнение процесса мобилизации. Модель мобилизации построена.

Последнее соотношение легко преобразуется к следующему виду:

Замечание. Вспомогательный параметр? не может быть больше 1 вследствие того, что исходные параметры? и? положительны. Полученное уравнение (4) называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

С уравнениями подобного рода можно сталкиваться в разных, по большей части простейших вариантах.

Один из них (при?=1) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем сложения с некоторым постоянным числом: Mn+1=?+Mn, т. е. арифметрическую прогрессию.

Второй (при?=0) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения на некоторое постоянное число: Mn+1=?Mn, т. е. геометрическую прогрессию.

Предположим, что начальная доля привлеченного населения М0 известна. Тогда уравнение (4) легко решается (для определенности считаем, что). Имеем:

Применение модели.

Попробуем проанализировать возможности этой (построенной на основании простейших соображений) модели.

Начнем со случая |?|<1.

Для этого перепишем последнее соотношение в виде, где через M* обозначена следующая величина:

Замечание. Тот же результат получается, если в уравнении (4) положить Mn+1=Mn=M*.

В самом деле, тогда получим M*=?+?M*, откуда

Найденная величина M* не зависит от начального значения M0, выражается через исходные параметры? и? по формуле

а следовательно подчиняется условию 0

Для придания полученной формуле большей наглядности вновь воспользуемся методом координат.

На рис. 2.13 показаны области возможных значений вспомогательного параметра?, на рис. 2.14 - исходных параметров? и?, а на рис. 2.15-17 - соответствующие им наборы значений Мn при разных n, М0 и М* (для удобства восприятия соседние точки (n,Мn) и (n+l,Mn+1) соединены прямолинейными отрезками).

Случай?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Конечно, на этих рисунках представлена качественная картина. Но ничто не мешает взять вполне конкретные значения величин М0, ? и? и подробно рассчитать соответствующую ситуацию.

Рис. 2.13.области возможных значений? 2.14.исходные параметры? и?

Рис. 2.15 - 2.16

Рис. 2.17 2.18. Случай?<1

Например, для, имеем

,…(рис. 2.19)

Рис. 2.19. Мобилизация при,

Интересно отметить, что построенная модель, несмотря на простоту подходов и рассуждений, довольно хорошо отражает реальные процессы. Так, предложенная модель мобилизации использовалась для изучения динамики числа голосов, поданных за демократическую партию в Лейк Кантри (США) в 1920-1968 гг., и оказалось, что она достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации.

2.4 Модель гонки вооружений

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой могут оказаться две страны, для определенности назовём страны X и Y.

Обозначим через x=x(t) расходы на вооружение страны X и через y=y(t) расходы на вооружение страны Y в момент времени.

Предположение 1. Страна X вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны со стороны страны Y, которая в свою очередь, зная о росте затрат на вооружение страны X, также увеличивает свои расходы на вооружение. Каждая страна изменяет скорость роста (или сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. В простейшем случае это можно описать так:

где ? и ?- положительные постоянные.

Однако написанные уравнения имеют очевидный недостаток - уровень вооружения ничем не лимитируется. Поэтому правые части этих уравнений нуждаются в естественной корректировке.

Предположение 2.

Чем больше текущий уровень расходов страны на оборону, тем меньше скорость его роста. Это позволяет внести в предыдущую систему следующие изменения:

x=?y-?x

y=?x-?y

если же эта страна не угрожает существованию данной. Обозначим соответствующие претензии через a и b (а и b - положительные постоянные). В случае если постоянные a и b отрицательны, их можно назвать коэффициентами доброй воли. Основываясь на всех трех предположениях, в результате получаем следующую систему уравнений:

x=?y-?x+a

y=?x-?y+b

Модель гонки вооружений построена.

Решением полученной системы являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий x0?0 и y0?0 (начального состояния гонки вооружений).

Проанализируем полученную систему, предполагая, что уровни затрат обеих стран на вооружение не зависят от времени (являются стационарными). Это означает, что x=0, y=0, или по иному:

Y-?x+a=0

X-?y+b=0

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть система гонки вооружений имеет следующий вид:

x=3y-5x+15

y=3x-4y+12

Если скорости изменения величин x и y равны нулю, то эти величины с необходимостью связаны условиями:

Каждое из этих уравнений описывает прямую на плоскости (x,y), и точка пересечения этих прямых лежит в первой четверти (рис. 2.20)

Прямая, заданная уравнением (а), разбивает плоскость, и начальная точка O(0,0) лежит в положительной полуплоскости. В рассматриваемом случае то же справедливо и для прямой, заданной уравнением (б) (рис. 2.21).

Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как всегда х?0 и у?0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: I-(+,+), II-(-,+), III-(-,-), IV-(+,-).

Пусть начальное состояние (х0,у0) находится в области I. Тогда выполнены неравенства:

(а): 3у0-5x0+15>0,

(б): 3х0-4у0+12>0,

из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке положительны: х">0, у">0 и, значит, обе величины (х и у) должны возрастать (рис. 2.22).

Рис. 2.22. возрастание x и y

Таким образом, с течением времени в области I решение приходит в точку равновесия.

Подобным же образом анализируя возможные расположения начального состояния в областях II, III и IV, получим в итоге, что стабильное состояние (баланса сил) достигается независимо от начальных уровней вооружения стран X и Y. Отличие состоит лишь в том, что если переход к стационарному состоянию из области I сопровождается одновременным увеличением уровней вооруженности, то из области III - их одновременным снижением; для областей II и IV иная ситуация - одна из сторон наращивает свое вооружение, в то время как другая разоружается.

Возможны и другие случаи (рис. 2.23).

Рис. 2.23. другие случаи

Интересно отметить, что возможности построенной модели проверялись на реальной ситуации - гонке вооружений перед первой мировой войной. Проведенные исследования показали, что, несмотря на свою простоту, эта модель достаточно достоверно описывает положение дел в Европе в 1909-1913 гг.

В завершение этого раздела процитируем высказывание Т. Саати об этой модели: "Модель представляется гораздо более убедительной, если вместо вооружений провести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагируют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отношению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они испытывают сами".

Заключение

В наше время наука уделяет все большое внимание вопросам организации и управления, это приводит к необходимости анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Целью исследования операций является выявление наилучшего способа действия при решение той или иной задачи. Главная роль при этом отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений. Цель и ограничения должны быть представлены в виде функций.

В моделях исследования операций переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция, могут быть дискретными (чаще всего целочисленными) и континуальными (непрерывными). В свою очередь, ограничения и целевая функция делятся на линейные и нелинейные. Существуют различные методы решения данных моделей, наиболее известными и эффективными из них являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения линейные. Для решения математических моделей других типов предназначены методы динамического программирования (которые были рассмотрены в данном курсовом проекте), целочисленного программирования, нелинейного программирования, многокритериальной оптимизации и методы сетевых моделей. Практически все методы исследования операций порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это подразумевает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решение, постепенно сходящиеся к оптимальному решению.

Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

Построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к получаемым на ее основе выводам нужно относиться достаточно осторожно - модель может не все. Вместе с тем даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать выводы общего характера.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых процессов, зависящих от времени. Так как в задачах динамического программирования процессы зависят от времени, то находится ряд оптимальных решений для каждого этапа, обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом.

Используя поэтапное планирование, динамическое программирование позволяет не только упростить решение задач, но и решать те к которым нельзя применить методы математического анализа. Конечно, стоит отметить, что этот метод достаточно трудоёмкий при решении задач с большом количеством переменных.

Список используемой литературы

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. - М.: Высшая школа, 2009 г.

.Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования. - М.: Дело и Сервис, 2009 г

.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Айрис-Пресс, 2008 г.

.Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных технологий. - М.: Вузовская книга, 2011 г.

.Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. - СПб.: Питер, 2007 г.

.Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-Математические методы и модели. - М.: Вузовский учебник, 2008 г.

.Попов И.И., Партыка Т.Л. Математические методы. - М.: ИНФРА-М, 2007 г.

.Попова Н.В. Математические методы. - М.: Анкил, 2007 г.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Модели можно различать по ряду признаков: характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования. Рассмотрим 2 варианта классификации. Первый вариант классификации. По глубине моделирования методы моделирования делятся на две группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование. Материальное моделирование основано на материальной аналогии объекта и модели. Оно осуществляется с помощью воспроизведения основных геометрических, физических или функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование. Частным случаем физического моделирования является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Образец аналогового моделирования – изучение механических колебаний (например, упругой балки) с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы (например, при изучении колебаний мостов).

Идеальное моделирование основано на идеальной (мысленной) аналогии. В экономических исследованиях (на высоком уровне их проведения, а не на субъективных желаниях отдельных руководителей) это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное моделирование. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений.

Интуитивное моделирование встречается в тех областях науки и практики, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные системные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике в основном применяется знаковое или интуитивное моделирование; оно описывает мировоззрение ученых или практический опыт работников в сфере управления ею. Второй вариант классификации приведен на рис. 1.3.В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на полное, неполное и приближенное. При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве. Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется. В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей ||рij|| переходов i-го символа алфавита j-й.В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное. Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое - для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями. В зависимости от формы реализации носителя моделирование классифицируется на мысленное и реальное. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов. При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы. В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг соответствует поведению экономической системы у определенный временный период. Каждый текущий шаг получает результаты предыдущего шага, который по определенным правилам определяет текущий результат и формирует данные для следующего шага.

Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на протяжении определенного периода планирования в условиях изменения ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на заданный период.

Для решения динамических задач оптимизации в математическом программировании сформировался соответствующий класс моделей под названием динамическое программирование, его основателем стал известный американский математик Р. Беллман. Им предложен специальный метод решения задача этого класса на основе «принципа оптимальности», согласно которого оптимальное решение задачи находится путем ее разбиения на n этапов, каждый с которых представляет подзадачу относительно одной переменной. Расчет выполняется таким образом, что оптимальный результат одной подзадачи является исходными данными для следующей подзадачи с учетом уравнений и ограничений связи между ними, результат последней из них является результатом всей задачи. Общим для всех моделей этой категории является то, что текущие управляющие решения "проявляются" как в период, относящийся непосредственно к моменту принятия решения, так и в последующие периоды. Следовательно, наиболее важные экономические последствия проявляются в разные периоды, а не только в течение одного периода. Такого рода экономические последствия, как правило, оказываются существенными в тех случаях, когда речь идет об управляющих решениях, связанных с возможностью новых капиталовложений, увеличения производственных мощностей или обучения персонала с целью. создания предпосылок для увеличения прибыльности или сокращения издержек в последующие периоды.

Типичными областями применения моделей динамического программирования при принятии решений являются:

Разработка правил управления запасами, устанавливающих момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа.

Разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию.

Определение необходимого объема запасных частей, гарантирующего эффективное использование дорогостоящего оборудования.

Распределение дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования.

В задачах, решаемых методом динамического программирования, значение целевой функции (оптимизируемого критерия) для всего процесса получают простым суммированием частных значений fi(x) того же критерия на отдельных шагах, то есть

Если критерий (или функция) f(x) обладает этим свойством, то его называют аддитивным (аддитивной).

Алгоритм динамического программирования

1. На выбранном шаге задаем набор (определяемый условиями-ограничениями) значений переменной, характеризующей последний шаг, возможные состояния системы на предпоследнем шаге. Для каждого возможного состояния и каждого значения выбранной переменной вычисляем значения целевой функции. Из них для каждого исхода предпоследнего шага выбираем оптимальные значения целевой функции и соответствующие им значения рассматриваемой переменной. Для каждого исхода предпоследнего шага запоминаем оптимальное значение переменной (или несколько значений, если таких значений больше одного) и соответствующее значение целевой функции. Получаем и фиксируем соответствующую таблицу.

2. Переходим к оптимизации на этапе, предшествующем предыдущему (движение "вспять"), отыскивая оптимальное значение новой переменной при фиксированных найденных ранее оптимальных значениях следующих переменных. Оптимальное значение целевой функции на последующих шагах (при оптимальных значениях последующих переменных) считываем из предыдущей таблицы. Если новая переменная характеризует первый шаг, то переходим к п.З. В противном случае повторяем п.2 для следующей переменной.

З. При данном в задаче исходном условии для каждого возможного значения первой переменной вычисляем значение целевой функции. Выбираем оптимальное значение целевой функции, соответствующее оптимальному(ым) значению(иям) первой переменной.

4. При известном оптимальном значении первой переменной определяем исходные данные для следующего (второго) шага и по последней таблице - оптимальное(ые) значение(ия) следующей (второй) переменной.

5. Если следующая переменная не характеризует последний шаг, то переходим к п.4.Иначе переходим к п.6.

6.Формируем (выписываем) оптимальное решение.

Список использованной литературы

1. Microsoft Office 2010. Самоучитель. Ю. Стоцкий, А. Васильев, И. Телина. Питер. 2011, - 432 с.

2. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Изд-е 7-е. - М.: Инфра-М, 1995.

3. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. М. : Нолидж, 1998, - 624 с.

4. Информатика: практикум по технологии работы на персональном компьютере /Под ред. проф. Н.В.Макаровой - М. : Финансы и статистика, 1997 г. - 384с.

5. Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н.В. Макаровой - М. : Финансы истатистика, 1997 г. - 768 с.

Похожая информация.

До последнего времени географические факторы, оказывающие существенно важное влияние на распространение заболеваний, исследовались сравнительно мало. Справедливость предположения об однородном перемешивании населения в небольшом городе или деревне уже давно ставилась под сомнение, хотя вполне допустимо в качестве первого приближения принять, что перемещения источников инфекции носят случайный характер и во многом напоминают движение частиц в коллоидном растворе. Тем не менее необходимо, конечно, иметь некоторое представление о том, к какому эффекту может привести наличие большого числа восприимчивых индивидуумов в пунктах, удаленных на довольно большие расстояния от любого данного источника инфекции.

В детерминистской модели, принадлежащей Д. Кендаллу, предполагается существование бесконечного двумерного континуума популяции, в которой на единицу площади приходится о индивидуумов. Рассмотрим область , окружающую точку Р, и допустим, что числа восприимчивых, зараженных и удаленных из коллектива индивидуумов равны соответственно . Величины х, у и z могут быть функциями времени и положения, однако их сумма должна равняться единице. Основные уравнения движения, аналогичные системе (9.18), имеют вид

где - пространственно взвешенное среднее значение

Пусть и - постоянные, - элемент площади, окружающий точку Q, и - неотрицательный весовой коэффициент.

Допустим, что начальная концентрация заболеваний равномерно распределена в некоторой небольшой области, окружающей первоначальный очаг. Заметим также, что в произведение Роху в явном виде введен множитель о, с тем чтобы скорость распространения инфекции оставалась независимой от плотности популяции. Если бы у оставалось постоянным на плоскости, то интеграл (9.53) наверняка сходился бы. В этом случае удобно было бы потребовать, чтобы

Описанная модель позволяет довольно далеко продвинуть математические исследования. Можно показать (с одной-двумя оговорками), что пандемия охватит всю плоскость в том и только в том случае, если плотность популяции превышает пороговое значение . Если пандемия возникла, то ее интенсивность определяется единственным положительным корнем уравнения

Смысл этого выражения состоит в том, что доля индивидуумов, заболевающих в конце концов в любой области, как бы далеко она ни отстояла от первоначального эпидемического очага, будет не меньше?. Очевидно, что эта теорема Кендалла о пороге пандемии аналогична пороговой теореме Кермака и Мак-Кендрика, в которой пространственный фактор не учитывался.

Можно также построить модель для следующего частного случая. Пусть х и у - пространственные плотности восприимчивых и зараженных индивидуумов соответственно. Если считать инфекцию локальной и изотропной, то нетрудно показать, что уравнения, соответствующие первым двум уравнениям системы (9.18), можно записать в виде

где не пространственные координаты] и

Для начального периода, когда можно приближенно считать постоянной величиной, второе уравнение системы (9.56) примет вид

Это стандартное уравнение диффузии, решение которого имеет вид

где постоянная С зависит от начальных условий.

Общее число зараженных индивидуумов, находящихся вне круга радиусом R, равно

Следовательно,

и если , то . Радиус соответствующий какому-либо выбранному значению растет со скоростью . Эту величину можно рассматривать как скорость распространения эпидемии, и ее предельное значение для больших t равно . В одном из случаев эпидемии кори в Глазго в течение почти полугода скорость распространения составляла около 135 м в неделю.

Уравнения (9.56) легко видоизменить так, чтобы была учтена миграция восприимчивых и зараженных индивидуумов, а также появление новых восприимчивых индивидуумов. Как и в случае повторяющихся эпидемий, рассмотренных в разд. 9.4, здесь возможно равновесное решение, однако небольшие колебания затухают столь же быстро или даже быстрее, чем в непространственной модели. Таким образом, ясно, что в данном случае детерминистский подход имеет определенные ограничения. В принципе следовало бы, конечно, предпочесть стохастические модели, но обычно анализ их сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если он проводится чисто математическим путем.

Было выполнено несколько работ по моделированию этих процессов. Так, Бартлетт использовал ЭВМ для изучения нескольких последовательных искусственных эпидемий. Пространственный фактор был учтен введением сетки ячеек . Внутри каждой ячейки использовались типичные непространственные модели для непрерывного или дискретного времени и допускалась случайная миграция зараженных индивидуумов между ячейками, имеющими общую границу. Была получена информация о критическом объеме популяции, ниже которого происходит затухание эпидемического процесса. Основные параметры модели были получены на основе фактических эпидемиологических и демографических данных.

Недавно автор этой книги предпринял ряд аналогичных исследований, в которых была сделана попытка построить пространственное обобщение стохастических моделей для простого и общего случаев, рассмотренных в разд. 9.2 и 9.3. Допустим, что имеется квадратная решетка, каждый узел которой занят одним восприимчивым индивидуумом. В центре квадрата помещается источник инфекции и рассматривается такой процесс цепочечно-биномиального типа для дискретного времени, в котором опасности заражения подвергаются только индивидуумы, непосредственно примыкающие к какому-либо источнику инфекции. Это могут быть либо только четыре ближайших соседа (схема 1), либо также индивидуумы, расположенные по диагонали (схема 2); во втором случае всего будет восемь индивидуумов, лежащих на сторонах квадрата, центр которого занимает источник инфекции.

Очевидно, что выбор схемы произволен, однако в нашей работе использовалось последнее расположение.

Сначала была рассмотрена простая эпидемия без случаев выздоровления. Для удобства использовалась решетка ограниченного размера, и информация о состоянии каждого индивидуума (т. е. восприимчив ли он к инфекции или является ее источником) хранилась в вычислительной машине. В процессе моделирования проводилась текущая запись изменений состояния всех индивидуумов и подсчитывалось общее число новых случаев заболевания во всех квадратах с первоначальным источником инфекции в центре. В памяти машины фиксировались также текущие значения суммы и суммы квадратов числа случаев. Это позволило довольно легко вычислить средние значения и средние квадратические ошибки. Детали этого исследования будут опубликованы в отдельной статье, а здесь мы отметим лишь одну-две частные особенности этой работы. Например, ясно, что при очень высокой вероятности достаточного контакта будет иметь место почти детерминированное распространение эпидемии, при котором на каждом новом этапе развития эпидемии будет добавляться новый квадрат с источниками инфекции.

При меньших вероятностях будет иметь место действительно стохастическое распространение эпидемии. Так как каждый источник инфекции может заразить только восемь своих ближайших соседей, а не всю популяцию, то можно ожидать, что эпидемическая кривая для всей решетки будет возрастать не столь резко, как при однородном перемешивании всей популяции. Этот прогноз действительно оправдывается, и число новых случаев увеличивается с течением времени более или менее линейно до тех пор, пока не начнут сказываться краевые эффекты (поскольку решетка имеет ограниченную протяженность).

Таблица 9. Пространственная стохастическая модель простой эпидемии, построенная на решетке 21x21

В табл. 9 приведены результаты, полученные для решетки при наличии одного исходного источника инфекции и вероятности достаточного контакта, равной 0,6. Можно видеть, что между первым и десятым этапами эпидемии среднее число новых случаев каждый раз увеличивается примерно на 7,5. После этого начинает преобладать краевой эффект, и эпидемическая кривая резко падает вниз.

Можно также определить среднее число новых случаев для любой данной точки решетки и найти таким образом эпидемическую кривую для этой точки. Удобно проводить усреднение по всем точкам, лежащим на границе квадрата, в центре которого находится источник инфекции, хотя симметрия в этом случае не будет полной. Сравнение результатов для квадратов различного размера дает картину эпидемической волны, движущейся от первоначального источника инфекции.

Здесь мы имеем последовательность распределений, моды которых увеличиваются в линейной прогрессии, а дисперсия непрерывно возрастает.

Было также выполнено более детальное исследование эпидемии общего типа с удалением зараженных индивидуумов. Безусловно, все это очень упрощенные модели. Однако важно понять, что они могут быть значительно усовершенствованы. Чтобы учесть мобильность популяции, надо допустить, что восприимчивые индивидуумы заражаются и от тех источников инфекции, которые не являются их ближайшими соседями. Возможно, здесь придется использовать какой-то весовой коэффициент, зависящий от расстояния. Видоизменения, которые нужно будет ввести при этом в программу вычислительной машины, сравнительно невелики. На следующем этапе, возможно, удастся описать таким способом реальные или типичные популяции с самой разнообразной структурой. Это откроет возможность оценивать эпидемиологическое состояние реальных популяций с точки зрения опасности возникновения эпидемий различного типа.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:

а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;

б) модель зависимости результат. переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;

в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.

Если экономические утверждения отражают динамическую (зависящую от фактора времени) взаимосвязь включённых в модель переменных, то значения таких перемен­ных датируют и называют динамическими или временными рядами. Если экономические утверждения отражают статическую (относящуюся к одному периоду времени) взаимосвязь всех включённых в модель переменных, то значения таких переменных принято называть пространственными данными. И надобности в их датировании нет. Лаговыми называются экзогенные или эндогенные переменные экономической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, включающие лаговые переменные, относятся к классу динамических моделей. Предопределёнными называются лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные

23. Трендовые и пространственно-временные ЭМ в планировании экономики

Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в виде временных рядов xt, где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени.

Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда, их сравнение на основе статистических критериев и отбор наилучших из них для прогнозирования.

При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым.

Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы, или - в более широком смысле слова - это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса - Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др.

Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев.

При представлении совокупности результатов наблюдений в виде временных рядов фактически используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению, параметры которого и их изменение можно оценить. По этим параметрам (как правило, по среднему значению и дисперсии, хотя иногда используется и более полное описание) можно построить одну из моделей вероятностного представления процесса. Другим вероятностным представлением является модель в виде частотного распределения с параметрами pj для относительной частоты наблюдений, попадающих в j-й интервал. При этом если в течение принятого времени упреждения не ожидается изменения распределения, то решение принимается на основании имеющегося эмпирического частотного распределения.

При проведении прогнозирования необходимо иметь в виду, что все факторы, влияющие на поведение системы в базовом (исследуемом) и прогнозируемом периодах, должны быть неизменны или изменяться по известному закону. Первый случай реализуется в однофакторном прогнозировании, второй - при многофакторном.

Многофакторные динамические модели должны учитывать пространственные и временные изменения факторов (аргументов), а также (при необходимости) запаздывание влияния этих факторов на зависимую переменную (функцию). Многофакторное прогнозирование позволяет учитывать развитие взаимосвязанных процессов и явлений. Основой его является системный подход к изучению исследуемого явления, а так же процесс осмысливания явления, как в прошлом, так и в будущем.

В многофакторном прогнозировании одной из основных проблем является проблема выбора факторов, обуславливающих поведение системы, которая не может быть решена чисто статистическим путем, а только при помощи глубокого изучения существа явления. Здесь следует подчеркнуть примат анализа (осмысливания) перед чисто статистическими (математическими) методами изучения явления. В традиционных методах (например, в методе наименьших квадратов) считается, что наблюдения независимы друг от друга (по одному и тому же аргументу). В действительности существует автокорреляция и ее неучет приводит к неоптимальности статистических оценок, затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости. Автокорреляция определяется по отклонениям от трендов. Она может иметь место, если не учтено влияние существенного фактора или нескольких менее существенных факторов, но направленных «в одну сторону», либо неверно выбрана модель, устанавливающая связь между факторами и функцией. Для выявления наличия автокорреляции применяется критерий Дурбина-Уотсона. Для исключения или уменьшения автокорреляции применяется переход к случайной компоненте (исключение тренда) или введение времени в уравнение множественной регрессии в качестве аргумента.

В многофакторных моделях возникает проблема и мультиколлинеарности - наличие сильной корреляции между факторами, которая может существовать вне всякой зависимости между функцией и факторами. Выявив, какие факторы являются мультиколлинеарными, можно определить характер взаимозависимости между мультиколлинеарными элементами множества независимых переменных.

В многофакторном анализе необходимо наряду с оценкой параметров сглаживающей (исследуемой) функции построить прогноз каждого фактора (по неким другим функциям или моделям). Естественно, что значения факторов, полученные в эксперименте в базисном периоде, не совпадают с аналогичными значениями, найденными по прогнозирующим моделям для факторов. Это различие должно быть объяснено либо случайными отклонениями, величина которых выявлена указанными различиями и должна быть учтена сразу же при оценке параметров сглаживающей функции, либо это различие не случайно и никакого прогноза делать нельзя. То есть в задаче многофакторного прогнозирования исходные значения факторов, как и значения сглаживающей функции, должны быть взяты с соответствующими ошибками, закон распределения которых должен быть определен при соответствующем анализе, предшествующем процедуре прогнозирования.

24. Сущность и содержание ЭМ: структурной и развернутой

Эконометрические модели - это системы взаимосвязанных уравнений, многие параметры которых определяются методами статистической обработки данных. К настоящему времени за рубежом в аналитических и прогнозных целях разработаны и используются многие сотни эконометрических систем. Ма кроэконометрические модели, как правило, сначала представляются в естественной, содержательной форме, а затем в приведенном, структурном виде. Естественная форма эконометрических уравнений позволяет квалифицировать их содержательную сторону, дать оценку их экономического смысла.

Для построения прогнозов эндогенных переменных необходимо выразить текущие эндогенные переменные модели в виде явных функций предопределённых переменных. Последняя спецификация, полученная путем включения случайных возмущений получена в результате математической формализации экономических закономерностей. Такая форма спецификации называется структурной . В общем случае в структурной спецификации эндогенные переменные не выражены в явном виде через предопределенные.

В модели равновесного рынка только переменная предложениявыражена в явном виде через предопределенную переменную, поэтому для представления эндогенных переменных через предопределенные необходимо выполнить некоторые преобразования структурной формы. Решим систему уравнений для последний спецификации относительно эндогенных переменных.

Таким образом, эндогенные переменные модели выражены в явном виде через предопределенные переменные. Такая форма спецификации получила название приведенной. В частном случае структурная и приведённая фор­мы модели могут совпадать. При правильной спецификации модели пере­ход от структурной к приведённой форме всегда возможен, обратный переход возможен не всегда.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как x. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

где y – эндогенные переменные; x – экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Так, потребление текущего года (y t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y t-1)

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b i и a j , (b i – коэффициент при эндогенной переменной, a j – коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонения от уровня, т. е. под x подразумевается x- (а под y - соответственно у- (. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные структурных коэффициентов модели структурная коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить δ , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Развернутая ЭМ (ее блоки)

Модель называется статической, когда входные и выходные воздействия постоянны во времени. Статическая модель описывает установившийся режим.

Модель называется динамической, если входные и выходные переменные изменяются во времени. Динамическая модель описывает неустановившийся режим работы изучаемого объекта.

Исследование динамических свойств объектов позволяет в соответствии с фундаментальным принципом определенности Гюйгенса-Адамара ответить на вопрос: как изменяется состояние объекта при известных воздействиях на него и заданном начальном состоянии.

Примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Статическая модель описывается алгебраическим уравнением

Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов.

Динамическая модель часто описывается дифференциальным уравнением

Уравнение связывает неизвестную переменную Y и ее производные с независимой переменной t и заданной функцией времени Х(t) и ее производными.

Динамическая система может функционировать в непрерывном или дискретном, квантованном на равные интервалы, времени. В первом случае система описывается дифференциальным уравнением, а во втором случае – конечно-разностным уравнением.

Если множества входных, выходных переменных и моментов времени конечны, то система описывается конечным автоматом.

Конечный автомат характеризуется конечным множеством состояний входа ; конечным множеством состояний ; конечным множеством внутренних состояний ; функцией переходов T(x, q) , определяющих порядок смены внутренних состояний; функцией выходов P(x, q) задающей состояние выхода в зависимости от состояния входа и внутреннего состояния.

Обобщением детерминированных автоматов являются стохастические автоматы , которые характеризуются вероятностями переходов из одного состояния в другое. Если функционирование динамической системы имеет характер обслуживания возникающих заявок, то модель системы строится с использованием методов теории массового обслуживания.

Динамическую модель называют стационарной , если свойства преобразования входных переменных не изменяются со временем. В противном случае ее называют нестационарной .

Различают детерминированные и стохастические (вероятностные ) модели. Детерминированный оператор позволяет однозначно определить выходные переменные по известным входным переменным.

Детерминированность модели означает лишь неслучайность преобразования входных переменных , которые сами по себе могут быть как детерминированными, так и случайными.

Стохастический оператор позволяет определить по заданному распределению вероятностей входных переменных и параметров системы распределение вероятностей входных переменных.

С точки зрения входных и выходных переменных модели классифицируют следующим образом:

1. Входные переменные подразделяют на управляемые и неуправляемые . Первые могут изменяться по усмотрению исследователя и используются объектом. Вторые непригодны для управления.

2. В зависимости от размерности векторов входных и выходных переменных различают одномерные и многомерные модели. Под одномерной моделью будем понимать такую модель, у которой входная и выходная переменные являются одновременно скалярными величинами. Многомерной называют модель, у которой векторы x (t ) и y (t ) имеют размерность n ³ 2.

3. Модели, у которых входныеи выходные переменные являются непрерывными по времени и по величине, называют непрерывными . Модели, у которых входные и выходные переменные дискретны или по времени, или по величине, называют дискретными .

Отметим, что динамика сложных систем во многом зависит от решений, принимаемых человеком. Процессы, протекающие в сложных системах, характеризуются большим числом параметров – большим в том смысле, что соответствующие уравнения и соотношения аналитически не могут быть разрешены. Часто изучаемые сложные системы уникальны по сравнению даже с аналогичными по назначению системами. Продолжительность экспериментов с такими системами обычно велика и часто оказывается сравнимой со сроком их жизни. Иногда проведение активных экспериментов с системой вообще недопустимо.

Для сложного объекта часто оказывается невозможным определить содержание каждого шага управления. Это обстоятельство определяет настолько большое число ситуаций, характеризующих состояние объекта, что практически невозможно проанализировать влияние каждой из них на принимаемые решения. В этой ситуации вместо жесткого алгоритма управления, предписывающего на каждом шаге его реализации некоторое однозначное решение, приходится использовать совокупность указаний, соответствующую тому, что в математике принято называть исчислением. В отличие от алгоритма в исчислении продолжение процесса на каждом шаге не является фиксированным и есть возможность произвольного продолжения процесса поиска решения. Исчисления и подобные им системы изучаются в математической логике.

1.5. Концепция построения системной модели сложных объектов

Сложные объекты представляют собой совокупность отдельных конструктивно обособленных элементов: технологических агрегатов, транспортных магистралей, электрических приводов и т. д., связанных между собой материальными, энергетическими и информационными потоками, и взаимодействующих с окружающей средой как целое. Процессы энергомассообмена, происходящие в сложных объектах, являются направленными и связаны с движением полей и вещества (теплообмен, фильтрация, диффузия, деформация и т. д.). Как правило, эти процессы содержат неустойчивые стадии развития, и управление такими процессами является больше искусством, чем наукой. Вследствие этих обстоятельств, наблюдается нестабильное качество управления такими объектами. Резко возрастают требования к квалификации технологического персонала и существенно увеличивается время на его подготовку.

Элементом системы называется некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), обладающий рядом важных для нас свойств, внутреннее строение (содержание) которого не представляет интереса с точки зрения цели анализа .

Будем обозначать элементы через М , а всю их рассматриваемую (возможную) совокупность – через {М} . Принадлежность элемента к совокупности принято записывать .

Связью назовем важный для целей рассмотрения обмен между элементами: веществом, энергией, информацией.

Единичным актом связи выступает воздействие . Обозначая все воздействия элемента M 1 на элемент M 2 через x 12 , а элемента М 2 на М 1 – через x 21 , можно изобразить связь графически (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Связь двух элементов

Системой назовем совокупность элементов, обладающую следующими признаками:

а) связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

б) свойством (назначением, функцией), отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Назовем признак а) связностью системы, б) – ее функцией. Применяя так называемое “кортежное” (т. е. последовательность в виде перечисления) определение системы, можно записать

где Σ– система; {М } – совокупность элементов в ней; {x } – совокупность связей; F – функция (новое свойство) системы.

Будем рассматривать запись как наиболее простое описание системы.

Практически любой объект с определенной точки зрения может рассматриваться как система. Важно отдавать себе отчет, полезен ли такой взгляд или разумней считать данный объект элементом. Так, системой можно считать радиотехническую плату, преобразующую входной сигнал в выходной. Для специалиста по элементной базе системой будет слюдяной конденсатор в этой плате, а для геолога – и сама слюда, имеющая достаточно сложное строение.

Большой системой назовем систему, включающую значительное число однотипных элементов и однотипных связей.

Сложной системой назовем систему, состоящую из элементов разных типов и обладающую разнородными связями между ними.

Часто сложной системой считают только ту, которая является большой. Разнородность элементов можно подчеркнуть записью

Большой, но не сложной с точки зрения механики, системой является собранная из стержней стрела крана или, например, труба газопровода. Элементами последней будут ее участки междусварными швами или опорами. Для расчетов на прогиб элементами газопровода скорее всего будут считаться относительно небольшие (порядка метра) участки трубы. Так поступают в известном методе конечных элементов. Связь в данном случае носит силовой (энергетический) характер – каждый элемент действует на соседний.

Различие между системой, большой системой и сложной системой условно. Так, корпуса ракет или судов, которые на первый взгляд однородны, обычно относят к сложной системе из-за наличия переборок разного вида.

Важным классом сложных систем являются автоматизированные системы. Слово “автоматизированный” указывает на участие человека, использование его активности внутри системы при сохранении значительной роли технических средств. Так, цех, участок, сборка могут быть как автоматизированными, так и автоматическими (“цех-автомат”). Для сложной системы автоматизированный режим считается более предпочтительным. Например, посадка самолета выполняется при участии человека, а автопилот обычно используется лишь на относительно простых движениях. Также типична ситуации, когда решение, выработанное техническими средствами, утверждается к исполнению человеком.

Итак, автоматизированной системой называется сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: а) в виде технических средств; б) в виде действий человека. Ее символьная запись (сравни с и)

где M T – технические средства, в первую очередь ЭВМ; M H – решения и другая активность человека; М" – остальные элементы в системе.

В совокупности {х }вэтом случае могут быть выделены связи между человеком и техникой {x T - H }.

Структурой системы называется ее расчленение на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом.

Указанное расчленение может иметь материальную (вещественную), функциональную, алгоритмическую и другую основу. Группы элементов в структуре обычно выделяются по принципу простых или относительно более слабых связей между элементами разных групп. Структуру системы удобно изображать в виде графической схемы, состоящей из ячеек (групп) и соединявших их линий (связей). Такие схемы называются структурными.

Для символьной записи структуры введем вместо совокупности элементов {М },совокупность групп элементов {М* }и совокупность связей между этими группами {x* }.Тогда структура системы может быть записана как

Структуру можно получить из объединением элементов в группы. Отметим, что функция (назначение) F системы в опущена.

Приведем примеры структур. Вещественная структура сборного моста состоит из его отдельных, собираемых на месте секций. Грубая структурная схема такой системы укажет только эти секции и порядок их соединения. Последнее и есть связи, которые здесь носят силовой характер. Пример функциональной структуры – это деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи силового момента и т. д. Пример системы, где вещественные и функциональные структуры слиты, – это отделы проектного института, занимающиеся разными сторонами одной и той же проблемы.

Типичной алгоритмической структурой будет алгоритм (схема) программного средства, указывающая последовательность действий. Также алгоритмической структурой будет инструкция, определяющая действия при отыскании неисправности технического объекта.

1.6. Основные этапы инженерного эксперимента, направленного на изучение сложных объектов

Дадим характеристику основных этапов инженерного эксперимента, направленного на изучение сложных объектов.

1. Построение физической основы модели.

Построение физической основы модели, позволяющей выделить наиболее существенные процессы, определяющие качество управления и определить соотношения детерминированных и статистических составляющих в наблюдаемых процессах. Физическая основа модели строится с использованием “проектирования” сложного объекта в различные предметные области, используемые для описания исследуемого объекта. Каждая предметная область задает собственные системы ограничений на возможные “движения” объекта. Учет совокупности этих ограничений позволяет обосновать комплекс используемых моделей и построить непротиворечивую модель.

Построение “каркаса” модели, т. е. ее физической основы, сводится к описанию системы отношений, характеризующих исследуемый объект, в частности, законов сохранения и кинетики процессов. Анализ системы отношений, характеризующих объект, позволяет определить пространственные и временные масштабы механизмов, инициирующих наблюдаемое поведение процессов, качественно охарактеризовать вклад статистического элемента в описание процесса, а также выявить принципиальную неоднородность (если она существует!) наблюдаемых временных рядов.

Построение “каркаса” сводится к установлению по априорным данным причинно-следственных связей между внешними и внутренними дестабилизирующими факторами и эффективностью работы системы, а количественные оценки этих связей конкретизируются путем проведения экспериментов на объекте. Тем самым гарантируется общность полученных результатов для всего класса объектов, их непротиворечивость по отношению к ранее полученным знаниям и обеспечивается уменьшение объема экспериментальных исследований. “Каркас” модели должен строиться с использованием структурно-феноменологического подхода, объединяющего исследование объекта по его реакциям на “внешние” воздействия и раскрытие внутреннего строения объекта исследования.

2. Проверка статистической устойчивости результатов наблюдений и определение характера изменения контролируемых переменных.

Эмпирическое обоснование статистической устойчивости сводится к исследованию устойчивости эмпирического среднего по мере возрастания объема выборки (схема удлиняющейся серии). Непредсказуемость экспериментально полученных значений, как известно, не является ни необходимым, ни достаточным условием применения теоретико-вероятностных понятий. Необходимым условием применения теории вероятностей является устойчивость усредненных характеристик исходных величин. Таким образом, требуется проверка с использованием эмпирической индукции статистической устойчивости n -мерной эмпирической функции распределения исходной случайной величины и распределения вероятностей для выборочных оценок.

3. Формирование и проверка гипотез о структуре и параметрах “движения” исследуемого объекта.

Отметим, что, как правило, мотивом для выбора статистического подхода является отсутствие регулярности наблюдаемого процесса, хаотический характер и резкие изломы. В этом случае исследователь не может визуально обнаружить закономерности в ряду наблюдений и воспринимает его как реализацию случайного процесса. Подчеркнем, что речь идет об обнаружении простейших закономерностей, поскольку для обнаружения сложных закономерностей нужна направленная математическая обработка результатов наблюдений.

4. Прогнозирование выходных переменных выполняется с учетом вклада детерминированных и статистических составляющих в конечный результат.

Отметим, что использование для прогнозирования только статистического подхода наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для принятия решений, касающихся минимизации текущих потерь, важно знать, не как в среднем развивается процесс, а как он будет себя вести на конкретном отрезке времени. Во-вторых, в общем случае мы имеем задачу прогнозирования нестационарного, случайного процесса с изменяющимися математическим ожиданием, дисперсией и самим видом закона распределения.

5. Планирование и реализация вычислительного эксперимента, направленного на оценку регулировочных характеристик объекта и ожидаемой эффективности системы управления.

Задачи синтеза структуры сложных систем только в простейших случаях могут быть решены аналитически. Поэтому возникает потребность в имитационном моделировании (ИМ) элементов проектируемой системы.

ИМ – это особый способ исследования объектов сложной структуры, заключающийся в воспроизведении численным образом всех входных и выходных переменных каждого элемента объекта. ИМ позволяет на этапе анализа и синтеза структуры учесть не только статистические взаимосвязи между элементами системы, но и динамические аспекты ее функционирования.

Для составления ИМ необходимо:

– выделить в объекте моделирования простейшие элементы, для которых известен способ расчета выходных переменных;

– составить уравнения связи, описывающие порядок соединения элементов в объекте;

– составить структурную схему объекта;

– выбрать средства автоматизации моделирования;

– разработать программу ИМ;

– провести вычислительные эксперименты с целью оценки адекватности ИМ, устойчивости результатов имитации и чувствительности ИМ к изменениям управляющих и возмущающих воздействий;

– решить с использованием модели задачу синтеза системы управления.